Propriedades dos limites: Difference between revisions

From Applied Science
(Created page with "As propriedades dos limites são consequências diretas do modo como operamos com funções. Quando adicionamos uma função à outra nós o fazemos para cada um dos seus respectivos pontos. Somamos as suas respectivas expressões, que resultam numa terceira função que, para cada ponto, dá a soma dos valores das respectivas funções que estamos somando. Isto naturalmente dá a ideia de que '''a soma de funções contínuas é contínua''', porque se o limite de ambas...")
 
 
(One intermediate revision by the same user not shown)
Line 1: Line 1:
As propriedades dos limites são consequências diretas do modo como operamos com funções. Quando adicionamos uma função à outra nós o fazemos para cada um dos seus respectivos pontos. Somamos as suas respectivas expressões, que resultam numa terceira função que, para cada ponto, dá a soma dos valores das respectivas funções que estamos somando. Isto naturalmente dá a ideia de que '''a soma de funções contínuas é contínua''', porque se o limite de ambas as funções existe num ponto, então a função resultante também esta definida naquele ponto e tem um limite conhecido. Por exemplo: se o limite de uma função é 1 num ponto e o limite de outra função é 2 no mesmo ponto. O resultado da soma dos limites deverá ser 3.
As propriedades dos limites são consequências diretas do modo como operamos com funções. Quando adicionamos uma função à outra nós o fazemos para cada um dos seus respectivos pontos. Somamos as suas respectivas expressões, resultando numa terceira função que, para cada ponto, dá a soma dos valores das respectivas funções que estamos somando. Isto naturalmente dá a ideia de que '''a soma de funções contínuas é contínua''', porque se o limite de ambas as funções existe num ponto, então a função resultante também esta definida naquele ponto e tem um limite conhecido. Por exemplo: se o limite de uma função é 1 num ponto e o limite de outra função é 2 no mesmo ponto. O resultado da soma dos limites deverá ser 3.


Note que '''se o limite de uma função não existe num ponto. Então adicionar uma função cujo limite exista resulta num limite, de uma soma de funções, que não existe naquele ponto.''' Eu apenas menciono isto porque algumas pessoas podem pensar que se um limite não existe, isto seria o equivalente a um buraco. Portanto, adicionar uma função cujo limite exista naquele mesmo ponto seria como ''"preencher"'' o buraco. Este raciocínio esta completamente furado. Para entender melhor pegue uma função cujo limite exista e outro cujo limite não exista, no mesmo tempo. Faça os gráficos. Ficará óbvio que naquele ponto o limite não existe.
Note que '''se o limite de uma função não existe num ponto. Então adicionar uma função cujo limite exista resulta num limite, de uma soma de funções, que não existe naquele ponto.''' Eu apenas menciono isto porque algumas pessoas podem pensar que se um limite não existe, isto seria o equivalente a um buraco. Portanto, adicionar uma função cujo limite exista naquele mesmo ponto seria como ''"preencher"'' o buraco. Este raciocínio esta completamente furado. Para entender melhor pegue uma função cujo limite exista e outra cujo limite não exista, no mesmo ponto. Faça o gráfico da função resultante da soma. Ficará óbvio que naquele ponto o limite não existe.


Para funções de várias variáveis as mesmas propriedades são verdadeiras.
Para funções de várias variáveis as mesmas propriedades são verdadeiras.


==The properties==
==As propriedades==


* <math>\lim_{x \ \to \ a} [f(x) \pm g(x)] = \lim_{x \ \to \ a} f(x) \pm \lim_{x \ \to \ a} g(x) = L_1 \pm L_2</math> (The limit of the sum | difference is the sum | difference of the limits)
* <math>\lim_{x \ \to \ a} [f(x) \pm g(x)] = \lim_{x \ \to \ a} f(x) \pm \lim_{x \ \to \ a} g(x) = L_1 \pm L_2</math> (O limite da soma | diferença é a soma | diferença dos limites)


* <math>\lim_{x \ \to \ a} f(x)g(x) = \left(\lim_{x \ \to \ a} f(x)\right) \left(\lim_{x \ \to \ a} g(x)\right) = L_1L_2</math> (The limit of the product is the product of the limits. Swap the second function with <math>\frac{1}{g(x)}</math> and we have the quotient rule, provided that the second function is not zero at that point.)
* <math>\lim_{x \ \to \ a} f(x)g(x) = \left(\lim_{x \ \to \ a} f(x)\right) \left(\lim_{x \ \to \ a} g(x)\right) = L_1L_2</math> (O limite do produto é o produto dos limites. Troque a segunda função por <math>\frac{1}{g(x)}</math> e temos a regra do quociente, desde que a segunda função não seja zero naquele ponto.)


* <math>\lim_{x \ \to \ a} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\lim_{x \ \to \ a} f(x)} = \sqrt[n]{L}</math>. (The limit of the nth root is the nth root of the limit, provided that the limit is not negative and <math>n</math> is even)
* <math>\lim_{x \ \to \ a} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\lim_{x \ \to \ a} f(x)} = \sqrt[n]{L}</math>. (O limite da raiz enésima é a enésima raiz do limite, desde que o limite não seja negativo e <math>n</math> seja par.)


* <math>\lim_{x \ \to \ a} cf(x) = c\lim_{x \ \to \ a} f(x) = cL</math>. (The limit of a function times a constant is the constant times the limit. This property is a linear transformation because when we multiply a function by a constant we don't change the critical points, they remain where they already are. We often forget that to multiply by 1 is the same as to multiply by c and divide by c at the same time, provided that c is not zero.)
* <math>\lim_{x \ \to \ a} cf(x) = c\lim_{x \ \to \ a} f(x) = cL</math>. (O limite da função vezes uma constante é a constante vezes o limite. Esta propriedade é uma transformação linear porque quando multiplicamos uma função por uma constante não mudamos os pontos críticos, eles permanecem onde estão. Frequentemente esquecemos que multiplicar por 1 é a mesma coisa que multiplicar por c e dividir por c ao mesmo tempo, desde que c não seja zero.)


* <math>\lim_{x \ \to \ a} f(\overbrace{g(x)}^{u}) = \lim_{u \ \to \ g(a)} f(u)</math>. (Careful with this! The existence of the limit of <math>g(x)</math> does not guarantee the existence of the limit of <math>f(g(x))</math>. However, if the limif of <math>g(x)</math> does not exist, this guarantees that the limit of <math>f(g(x))</math> does not too.)
* <math>\lim_{x \ \to \ a} f(\overbrace{g(x)}^{u}) = \lim_{u \ \to \ g(a)} f(u)</math>. (Cuidado com isto! A existência do limite de <math>g(x)</math> não garante que a existência do limite de <math>f(g(x))</math>. Por outro lado, se o limite de <math>g(x)</math> não existir, temos a garantia de que o limite de <math>f(g(x))</math> também não existe.)


==Proofs of the properties==
==Prova das propriedades==


Most teachers skip those in class because they take a lot of time to properly explain all the details.
A maioria dos professores pulam estas em classe porque tomam muito tempo para explicar em detalhes.


<math>(f + g)(x) = f(x) + g(x)</math> That's the expression that means sum of functions.
<math>(f + g)(x) = f(x) + g(x)</math> É a expressão que significa a soma de funções.


<math>\lim_{x \ \to \ a} (f + g)(x) = \lim_{x \ \to \ a} f(x) + \lim_{x \ \to \ a} g(x)</math> That's how some teachers explain at class. It's not the proof though.
<math>\lim_{x \ \to \ a} (f + g)(x) = \lim_{x \ \to \ a} f(x) + \lim_{x \ \to \ a} g(x)</math> É assim que alguns professores explicam em aula. Mas não é uma prova.


To prove that the limit of the sum is the sum of the limits we have to use the formal definition of a limit. The proof of the triangle inequality is a pre-requisite to do it. In here please notice that the limit of both functions is defined. Otherwise, if one or both limits don't exist, we can't do the sum!
Para provar que o limite da soma é a soma dos limites temos que usar a definição formal do limite. A prova da desigualdade triangular é um pré-requisito. Aqui note que o limite de ambas as funções esta definido. De outra forma, se um ou ambos os limites não existirem, não podemos fazer a soma!


<math>\lim_{x \ \to \ a} f(x) = L</math> is the same thing as <math>\lim_{x \ \to \ a} f(x) - L = 0</math> ''(Think about it: if the limit is <math>f(a)</math>, then the distance between the limit and <math>f(a)</math> should be zero because one is equal to the other)''
<math>\lim_{x \ \to \ a} f(x) = L</math> é o mesmo que <math>\lim_{x \ \to \ a} f(x) - L = 0</math> ''(Pense um pouco: se o limite é <math>f(a)</math>, então a distância entre o limite e <math>f(a)</math> deve ser zero porque um é igual ao outro)''


<math>f(x) + g(x) - (L_1 + L_2) = [f(x) - L_1] + [g(x) - L_2]</math>
<math>f(x) + g(x) - (L_1 + L_2) = [f(x) - L_1] + [g(x) - L_2]</math>


We are already assuming that the limit of both functions exists, then let's assume that <math>f(x) \to 0</math> and <math>g(x) \to 0</math> as <math>a \to 0</math>. Some functions may not have a limit at <math>x = 0</math> but we already began by excluding them. If both limits are equal to zero, then we have to prove that the sum of limits is also equal to zero. For every <math>\epsilon > 0</math> there is a <math>\delta > 0</math> such that
Já estamos assumindo que o limite de ambas as funções existe, então vamos assumir que <math>f(x) \to 0</math> e <math>g(x) \to 0</math> conforme <math>a \to 0</math>. Algumas funções podem não ter um limite em <math>x = 0</math>, mas já começamos excluindo esta possibilidade. Se ambos os limites forem iguais a zero, então temos que provar que a soma dos limites também é igual a zero. Para cada <math>\epsilon > 0</math> existe um <math>\delta > 0</math> tal que


<math>|f(x) + g(x)| < \epsilon|</math> whenever <math>0 < |x - a| < \delta</math>
<math>|f(x) + g(x)| < \epsilon|</math> sempre que <math>0 < |x - a| < \delta</math>


Let <math>\epsilon</math> be given. Since <math>f(x) \to a</math> as <math>x \to a</math>, there is a <math>\delta_1 > 0</math> such that
Seja <math>\epsilon</math> dado. Como <math>f(x) \to a</math> conforme <math>x \to a</math>, existe um <math>\delta_1 > 0</math> tal que


<math>|f(x)| < \frac{\epsilon}{2}</math> whenever <math>0 < |x - a| < \delta_1</math>
<math>|f(x)| < \frac{\epsilon}{2}</math> sempre que <math>0 < |x - a| < \delta_1</math>


Repeat for <math>g(x)</math>:
Repita para <math>g(x)</math>:


<math>|g(x)| < \frac{\epsilon}{2}</math> whenever <math>0 < |x - a| < \delta_2</math>
<math>|g(x)| < \frac{\epsilon}{2}</math> sempre que <math>0 < |x - a| < \delta_2</math>


''(if you didn't grasp the division by 2. Remember that the formal definition of a limit has the limit bounded by +error and -error. We've just used the property of a modulus)''
''(se você não entendeu a divisão por 2. Lembre-se que na definição formal do limite temos que o limite é limitado por +erro e -erro. Acabamos de aplicar a propriedade do módulo)''


If we let <math>\delta</math> denote the smaller of the two numbers <math>\delta_1</math> and <math>\delta_2</math>, then both the previous inequalities are valid if <math>0 < |x - a| < \delta</math> and hence, by the triangle inequality, we can find that
Se permitirmos que <math>\delta</math> indique o menor dentre dois números, <math>\delta_1</math> e <math>\delta_2</math>, então ambas as desigualdades desigualdades anteriores são válidas se <math>0 < |x - a| < \delta</math>. Logo, pela desigualdade triangular, chegamos em


<math>|f(x) + g(x)| \leq |f(x)| + |g(x)| < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon</math>.
<math>|f(x) + g(x)| \leq |f(x)| + |g(x)| < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon</math>.


The other properties follow a similar reasoning.
As demais propriedades seguem um raciocínio similar.


'''Note:''' I followed Tom Apostol in this proof.
'''Observação:''' Eu segui o livro do Tom Apostol nesta prova.


'''Links for the proofs:'''
'''Links para as provas:'''
* https://tutorial.math.lamar.edu/classes/calci/limitproofs.aspx
* https://www.dicasdecalculo.com.br/demonstracao-das-propriedades-de-limites-parte-i/
* https://en.wikibooks.org/wiki/Calculus/Proofs_of_Some_Basic_Limit_Rules
* http://ecalculo.if.usp.br/ferramentas/limites/calculo_lim/teoremas/demo_teo.htm
* http://math.oxford.emory.edu/site/math111/proofs/limitOfSum/
* https://www.youtube.com/watch?v=MKseH-VPr3o
* https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-limits-new/ab-1-5a/v/limit-properties
* https://www.youtube.com/watch?v=SOz4ZmGBj3g

Latest revision as of 01:13, 24 August 2022

As propriedades dos limites são consequências diretas do modo como operamos com funções. Quando adicionamos uma função à outra nós o fazemos para cada um dos seus respectivos pontos. Somamos as suas respectivas expressões, resultando numa terceira função que, para cada ponto, dá a soma dos valores das respectivas funções que estamos somando. Isto naturalmente dá a ideia de que a soma de funções contínuas é contínua, porque se o limite de ambas as funções existe num ponto, então a função resultante também esta definida naquele ponto e tem um limite conhecido. Por exemplo: se o limite de uma função é 1 num ponto e o limite de outra função é 2 no mesmo ponto. O resultado da soma dos limites deverá ser 3.

Note que se o limite de uma função não existe num ponto. Então adicionar uma função cujo limite exista resulta num limite, de uma soma de funções, que não existe naquele ponto. Eu apenas menciono isto porque algumas pessoas podem pensar que se um limite não existe, isto seria o equivalente a um buraco. Portanto, adicionar uma função cujo limite exista naquele mesmo ponto seria como "preencher" o buraco. Este raciocínio esta completamente furado. Para entender melhor pegue uma função cujo limite exista e outra cujo limite não exista, no mesmo ponto. Faça o gráfico da função resultante da soma. Ficará óbvio que naquele ponto o limite não existe.

Para funções de várias variáveis as mesmas propriedades são verdadeiras.

As propriedades

  • [math]\displaystyle{ \lim_{x \ \to \ a} [f(x) \pm g(x)] = \lim_{x \ \to \ a} f(x) \pm \lim_{x \ \to \ a} g(x) = L_1 \pm L_2 }[/math] (O limite da soma | diferença é a soma | diferença dos limites)
  • [math]\displaystyle{ \lim_{x \ \to \ a} f(x)g(x) = \left(\lim_{x \ \to \ a} f(x)\right) \left(\lim_{x \ \to \ a} g(x)\right) = L_1L_2 }[/math] (O limite do produto é o produto dos limites. Troque a segunda função por [math]\displaystyle{ \frac{1}{g(x)} }[/math] e temos a regra do quociente, desde que a segunda função não seja zero naquele ponto.)
  • [math]\displaystyle{ \lim_{x \ \to \ a} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\lim_{x \ \to \ a} f(x)} = \sqrt[n]{L} }[/math]. (O limite da raiz enésima é a enésima raiz do limite, desde que o limite não seja negativo e [math]\displaystyle{ n }[/math] seja par.)
  • [math]\displaystyle{ \lim_{x \ \to \ a} cf(x) = c\lim_{x \ \to \ a} f(x) = cL }[/math]. (O limite da função vezes uma constante é a constante vezes o limite. Esta propriedade é uma transformação linear porque quando multiplicamos uma função por uma constante não mudamos os pontos críticos, eles permanecem onde estão. Frequentemente esquecemos que multiplicar por 1 é a mesma coisa que multiplicar por c e dividir por c ao mesmo tempo, desde que c não seja zero.)
  • [math]\displaystyle{ \lim_{x \ \to \ a} f(\overbrace{g(x)}^{u}) = \lim_{u \ \to \ g(a)} f(u) }[/math]. (Cuidado com isto! A existência do limite de [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] não garante que a existência do limite de [math]\displaystyle{ f(g(x)) }[/math]. Por outro lado, se o limite de [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] não existir, temos a garantia de que o limite de [math]\displaystyle{ f(g(x)) }[/math] também não existe.)

Prova das propriedades

A maioria dos professores pulam estas em classe porque tomam muito tempo para explicar em detalhes.

[math]\displaystyle{ (f + g)(x) = f(x) + g(x) }[/math] É a expressão que significa a soma de funções.

[math]\displaystyle{ \lim_{x \ \to \ a} (f + g)(x) = \lim_{x \ \to \ a} f(x) + \lim_{x \ \to \ a} g(x) }[/math] É assim que alguns professores explicam em aula. Mas não é uma prova.

Para provar que o limite da soma é a soma dos limites temos que usar a definição formal do limite. A prova da desigualdade triangular é um pré-requisito. Aqui note que o limite de ambas as funções esta definido. De outra forma, se um ou ambos os limites não existirem, não podemos fazer a soma!

[math]\displaystyle{ \lim_{x \ \to \ a} f(x) = L }[/math] é o mesmo que [math]\displaystyle{ \lim_{x \ \to \ a} f(x) - L = 0 }[/math] (Pense um pouco: se o limite é [math]\displaystyle{ f(a) }[/math], então a distância entre o limite e [math]\displaystyle{ f(a) }[/math] deve ser zero porque um é igual ao outro)

[math]\displaystyle{ f(x) + g(x) - (L_1 + L_2) = [f(x) - L_1] + [g(x) - L_2] }[/math]

Já estamos assumindo que o limite de ambas as funções existe, então vamos assumir que [math]\displaystyle{ f(x) \to 0 }[/math] e [math]\displaystyle{ g(x) \to 0 }[/math] conforme [math]\displaystyle{ a \to 0 }[/math]. Algumas funções podem não ter um limite em [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math], mas já começamos excluindo esta possibilidade. Se ambos os limites forem iguais a zero, então temos que provar que a soma dos limites também é igual a zero. Para cada [math]\displaystyle{ \epsilon \gt 0 }[/math] existe um [math]\displaystyle{ \delta \gt 0 }[/math] tal que

[math]\displaystyle{ |f(x) + g(x)| \lt \epsilon| }[/math] sempre que [math]\displaystyle{ 0 \lt |x - a| \lt \delta }[/math]

Seja [math]\displaystyle{ \epsilon }[/math] dado. Como [math]\displaystyle{ f(x) \to a }[/math] conforme [math]\displaystyle{ x \to a }[/math], existe um [math]\displaystyle{ \delta_1 \gt 0 }[/math] tal que

[math]\displaystyle{ |f(x)| \lt \frac{\epsilon}{2} }[/math] sempre que [math]\displaystyle{ 0 \lt |x - a| \lt \delta_1 }[/math]

Repita para [math]\displaystyle{ g(x) }[/math]:

[math]\displaystyle{ |g(x)| \lt \frac{\epsilon}{2} }[/math] sempre que [math]\displaystyle{ 0 \lt |x - a| \lt \delta_2 }[/math]

(se você não entendeu a divisão por 2. Lembre-se que na definição formal do limite temos que o limite é limitado por +erro e -erro. Acabamos de aplicar a propriedade do módulo)

Se permitirmos que [math]\displaystyle{ \delta }[/math] indique o menor dentre dois números, [math]\displaystyle{ \delta_1 }[/math] e [math]\displaystyle{ \delta_2 }[/math], então ambas as desigualdades desigualdades anteriores são válidas se [math]\displaystyle{ 0 \lt |x - a| \lt \delta }[/math]. Logo, pela desigualdade triangular, chegamos em

[math]\displaystyle{ |f(x) + g(x)| \leq |f(x)| + |g(x)| \lt \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon }[/math].

As demais propriedades seguem um raciocínio similar.

Observação: Eu segui o livro do Tom Apostol nesta prova.

Links para as provas:

Retrieved from "https://www.henry-ym.org/appliedscience/index.php?title=Propriedades_dos_limites&oldid=1981"