Matrizes

Propriedades algébricas

• A soma é comutativa

[math]\displaystyle{ \left[\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}\right] + \left[\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} a + 1 & b + 2 \\ c + 3 & d + 4 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 1 + a & 2 + b \\ 3 + c & 4 + d \end{matrix}\right] }[/math]

• Multiplicação por escalar

[math]\displaystyle{ x\left[\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} xa & xb \\ xc & xd \end{matrix}\right] }[/math]

• Matriz transposta (Basta escrever os elementos de uma linha como elementos de uma coluna, mantendo-se a ordem)

[math]\displaystyle{ \left[\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}\right]^T = \left[\begin{matrix} a & c \\ b & d \end{matrix}\right] }[/math]

• Multiplicação de matrizes (Só esta definida quando o número de colunas da primeira matriz é igual ao de linhas da segunda. Cuidado! Essa operação não é comutativa, mas em alguns casos pode ser.)

[math]\displaystyle{ \left[\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 1a + 3b \\ 2c + 4d \end{matrix}\right] }[/math]

[math]\displaystyle{ \left[\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 1a + 2c \\ 3b + 4d \end{matrix}\right] }[/math]

[math]\displaystyle{ \left[\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} a \\ d \end{matrix}\right] }[/math]

Tipos de matrizes

• Matriz diagonal (todos os elementos acima e abaixo dos elementos da diagonal principal são nulos)

[math]\displaystyle{ \left[\begin{matrix} * & 0 & 0 \\ 0 & * & 0 \\ 0 & 0 & * \end{matrix}\right] }[/math]

• Matriz triangular superior (todos os elementos abaixo dos elementos da diagonal principal são nulos)

[math]\displaystyle{ \left[\begin{matrix} * & * & * \\ 0 & * & * \\ 0 & 0 & * \end{matrix}\right] }[/math]

• Matriz triangular inferior (todos os elementos acima dos elementos da diagonal principal são nulos)

[math]\displaystyle{ \left[\begin{matrix} * & 0 & 0 \\ * & * & 0 \\ * & * & * \end{matrix}\right] }[/math]

• Matriz identidade (é uma matriz diagonal onde todos os elementos da diagonal são unitários)

[math]\displaystyle{ \left[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right] }[/math]

• Matriz simétrica (é uma matriz tal que [math]\displaystyle{ A^T = A }[/math]

[math]\displaystyle{ \left[\begin{matrix} 1 & 7 & 3 \\ 7 & 4 & -5 \\ 3 & -5 & 6 \end{matrix}\right] }[/math]

• Matriz antisimétrica (é uma matriz tal que [math]\displaystyle{ A^T = -A }[/math]. Note que a diagonal é preenchida por zeros.)

[math]\displaystyle{ \left[\begin{matrix} 0 & 2 & -1 \\ -2 & 0 & -4 \\ 1 & 4 & 0 \end{matrix}\right] }[/math]

• Matriz involutiva (é uma matriz tal que [math]\displaystyle{ A^{-1} = A }[/math])

[math]\displaystyle{ \left[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}\right] }[/math]

• Matriz ortogonal (é uma matriz tal que [math]\displaystyle{ A^T = A^{-1} }[/math])

[math]\displaystyle{ \left[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix}\right] }[/math]

• Matriz singular (é uma matriz não inversível)

[math]\displaystyle{ \left[\begin{matrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{matrix}\right] }[/math]

Matrizes elementares

Quando se realizam operações elementares sobre as linhas de uma matriz isso é equivalente ao produto, pela esquerda, de uma matriz identidade com a matriz desejada. Realize a operação elementar sobre as linhas da matriz identidade, faça o produto e o resultado é a operação elementar aplicada sobre a matriz desejada. Veja exemplos:

• Troca de linhas (primeira pela terceira)

[math]\displaystyle{ \left[\begin{matrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} g & h & i \\ d & e & f \\ a & b & c \end{matrix}\right] }[/math]

• Multiplicar uma linha por uma constante não nula

[math]\displaystyle{ \left[\begin{matrix} x & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} ax & bx & cx \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix}\right] }[/math]

• Somar uma linha com outra (somando a primeira com a segunda)

[math]\displaystyle{ \left[\begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} a + d & b + e & c + f \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix}\right] }[/math]

Cuidado! Se a matriz identidade for multiplicada pela direita a operação elementar atuará sobre as colunas da matriz, não sobre as linhas.