Propriedades do valor absoluto: Difference between revisions

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Todos aprendemos na escola que um número só pode ser positivo ou negativo, com os positivos não precisando de um sinal de mais porque é um padrão adotado no mundo. Sempre assumimos que um número sem o sinal é positivo. Agora os livros e os professores que eu tive na escola sempre diziam que o módulo ''"apaga"'' o sinal. Eu sempre achei esta operação sem sentido porque se um número não tem sinal, então ele não é nem positivo e nem negativo? O que ele é?
Todos aprendemos na escola que um número só pode ser positivo ou negativo, com os positivos não precisando de um sinal de mais porque é um padrão adotado no mundo. Sempre assumimos que um número sem o sinal é positivo. Agora os livros e os professores que eu tive na escola sempre diziam que o módulo ''"apaga"'' o sinal. Eu sempre achei esta operação sem sentido porque se um número não tem sinal, então ele não é nem positivo e nem negativo? O que ele é?


Eu me lembro de ter tido muitas dificuldades com sinais e regras. Há vários professores que gravam vídeos ou criam páginas discutindo exatamente este problema de regra de sinais. Eu não posso falar pelos outros, mas é possível que muita gente cometa este erro <math>|a - b| = a + b</math>. Ou seja, se somos ensinados que o módulo apaga o final, então o sinal de menos some como acabamos de escrever? O modo com que os professores ensinam a ''"apagar"'' o sinal de menos dos números pode muito bem levar ao erro anterior. Pode parecer absurdo e para falar a verdade eu nunca vi o erro a seguir de fato, mas com certeza algum professor já deve ter visto isto <math>|2 \pm 2| = 22</math>. Eu sei que não faz sentido, mas alguém pode acabar interpretando o valor absoluto como literalmente apagar o sinal da existência.


 
O modo como eu fui ensinado sobre o valor absoluto de um número causa mais danos do que ajuda a entender. Muitas vezes eu me perguntava se existe uma operação além das quatro básicas da aritmética. Afinal, apagar o sinal é o que? O valor absoluto, por definição, é uma função mas só vamos aprender sobre funções muito tempo depois do valor absoluto.
I remember that I struggled a lot with signs and rules. There are many youtube videos with teachers discussing precisely the signs and rules with signs. Now I can't speak for others, but maybe many people out there make this mistake <math>|a - b| = a + b</math>. That is, if we are told that the modulus erases the sign, then does it mean that we erase the minus sign of every operation in between the two bars? I pretty sure that the way we are told to ''"erase"'' the minus sign from numbers can very well lead to that erroneous conclusion. I have no idea and have never witnessed it to be honest, but maybe some teacher out there in the world has witnessed this <math>|2 \pm 2| = 22</math>. I know it's absurd, but what if someone understood the absolute value as literally removing the sign from existence?
 
The way I was told what the absolute value of a number is causes more harm than any good because sometimes I wondered if there was an operation that is beyond the four basic arithmetic operations that we all know. The definition of the absolute value is a function, but we don't know that because we learn it before learning about functions.


<div style="text-align:center;">
<div style="text-align:center;">
<math>|x| =  
<math>|x| =  
\begin{cases}
\begin{cases}
x,& \ \text{if} \ x > 0 \\
x,& \ \text{se} \ x > 0 \\
0,& \ \text{if} \ x = 0 \\
0,& \ \text{se} \ x = 0 \\
-x,& \ \text{if} \ x < 0
-x,& \ \text{se} \ x < 0
\end{cases}</math>
\end{cases}</math>
</div>
</div>


You may have asked about the middle case. Zero can be placed in the first or the second case, it's a matter of preference. Or we can use a third case. It doesn't change the definition in any way. A number can never be greater than or less than itself, it can only be equal to itself.
Você pode ter perguntando sobre o caso do meio. O zero pode ser colocado no primeiro ou no segundo, tanto faz. Ou pode ficar separado num caso à parte. Não muda a definição. Um número nunca pode ser maior ou menor do que ele mesmo, só pode ser igual a ele mesmo.


==The properties==
==As propriedades==


* <math>|x| \geq 0</math>. A negative distance doesn't exist. It's always positive or null.
* <math>|x| \geq 0</math>. Distância negativa não existe. Ou é positiva ou nula.




* <math>|a - b| = |b - a|</math>. The distance between two points does not depend on the order of the points. We have to consider three cases: both numbers are positive, both are negative or one is negative and the other is positive. Or, more generally, the difference between the two numbers can be positive, negative or null.<br /><br />1st case: <math>a - b > 0 \implies b - a < 0</math>. Then, <math>|a - b| = a - b</math> and <math>|b - a| = -(b - a) = -b + a = a - b</math>. ''(if you didn't follow, it's the definition of the absolute value itself).''<br /><br />2nd case:<math>a - b < 0 \implies a - b > 0</math>. Then, <math>|a - b| = a - b</math> and <math>|a - b| = -(a - b) = -a + b = b - a</math>.<br /><br />3rd case: <math>a - b = 0 \implies a = -b \ \text{or} \ -a = b</math>. Then, <math>|a - b| = |b - a| = 0</math>.
* <math>|a - b| = |b - a|</math>. A distância entre dois pontos (na reta) não depende da ordem dos mesmos. Temos três casos a considerar: ambos são positivos, ambos são negativos ou um é negativo e o outro é positivo. Num caso mais geral, a diferença entre dois números só pode ser positiva, negativa ou nula.<br /><br />1° caso: <math>a - b > 0 \implies b - a < 0</math>. Então, <math>|a - b| = a - b</math> e <math>|b - a| = -(b - a) = -b + a = a - b</math>. ''(se você não acompanhou, é a definição do próprio valor absoluto).''<br /><br />2° caso: <math>a - b < 0 \implies a - b > 0</math>. Então, <math>|a - b| = a - b</math> e <math>|a - b| = -(a - b) = -a + b = b - a</math>.<br /><br />3° caso: <math>a - b = 0 \implies a = -b \ \text{ou} \ -a = b</math>. Então, <math>|a - b| = |b - a| = 0</math>.




* <math>|x| = 0 \iff x = 0</math>. +0 or -0 is meaningless, zero doesn't have a sign. It doesn't make sense to think about zero as either positive or negative.
* <math>|x| = 0 \iff x = 0</math>. +0 ou -0 não tem sentido. Não faz sentido pensar no zero como positivo ou negativo.




* <math>|x| = |-x|</math>. Reflection symmetry. It can be rewritten as <math>x = -(-x) = (-1)(-x)</math>. I remember making this mistake numerous times and it's to think that the property is the same as <math>-1 = 1</math>. It's obviously wrong, but for the purposes of plotting graphs of functions this is exactly where a lot of people go wrong. Not because they think that a number is equal to its negative counterpart, but because they think that the two numbers yield the same position in the Cartesian plane.
* <math>|x| = |-x|</math>. Propriedade reflexiva. Podemos reescrever assim <math>x = -(-x) = (-1)(-x)</math>. Eu me lembro de ter confundido esta propriedade com <math>-1 = 1</math> diversas vezes, mais especificamente no que diz respeito a gráficos de funções. Muita gente se confunde e o problema não é achar que um número é igual ao seu par negativo, mas pensar que ambos se localizam no mesmo ponto no plano cartesiano.




* <math>|ab| = |a||b|</math>. Intuitively it's easy to grasp that both are equal because we aren't going to see negative numbers coming from it. Formal proof:<br /><br />Let's begin stating that <math>|x|^2 = |x^2| = x^2,\ \forall x \in \mathbb{R}. </math> Try two numbers, one positive and one negative to check it. Or use <math>x^2 = a</math> to get a different view on it.<br /><br /><math>x^2 \geq 0, \ \forall x \in \mathbb{R} \implies |x^2| = x^2 </math>. If you didn't follow this, try the substitution I mentioned above.<br /><br />If <math>x > 0</math>, then <math>|x| = x</math>. <math>\therefore |x|^2 = x^2</math>.<br />If <math>x < 0</math>, then <math>|x| = -x</math>. <math>\therefore |x|^2 = (-x)^2 = x^2</math>. If you didn't follow, remember that what the absolute value does to a negative number is to invert its sign. Some people may think that this step is the same as swapping out '''| |''' for '''( )'''.<br />If <math>x = 0</math>, then <math>|0| = 0</math>. <math>\therefore |0|^2 = 0^2 = 0</math>.<br /><br /><math>|ab|^2 = (ab)^2 = a^2b^2 = |a|^2|b|^2 \Rightarrow |ab| = |a||b|</math>. This proves the property.
* <math>|ab| = |a||b|</math>. Intuitivamente é fácil notar que ambos são iguais porque ambos os lados são sempre positivos. Prova mais formal:<br /><br />Vamos começar dizendo que  <math>|x|^2 = |x^2| = x^2,\ \forall x \in \mathbb{R}.</math> Teste dois números, um positivo e outro negativo para verificar. Ou use <math>x^2 = a</math> para ter uma perspectiva diferente.<br /><br /><math>x^2 \geq 0, \ \forall x \in \mathbb{R} \implies |x^2| = x^2 </math>. Se você não acompanhou, tente a substituição mencionada anteriormente.<br /><br />Se <math>x > 0</math>, então <math>|x| = x</math>. <math>\therefore |x|^2 = x^2</math>.<br />Se <math>x < 0</math>, então <math>|x| = -x</math>. <math>\therefore |x|^2 = (-x)^2 = x^2</math>. Se você não acompanhou, lembre-se que o valor absoluto inverte o sinal de um número negativo. Algumas pessoas podem pensar que este passo é o mesmo que trocar  '''| |''' por '''( )'''.<br />Se <math>x = 0</math>, então <math>|0| = 0</math>. <math>\therefore |0|^2 = 0^2 = 0</math>.<br /><br /><math>|ab|^2 = (ab)^2 = a^2b^2 = |a|^2|b|^2 \Rightarrow |ab| = |a||b|</math>. Isto prova a propriedade.




* <math>\left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}</math>. We assume <math>b \neq 0</math>. With a negative exponent this is the same as the property above. Let's do it:<br /><br /><math>\left|\frac{a}{b}\right| = |ab^{-1}| = |a||b^{-1}|</math><br /><br />From the previous proof: <math>|b||b^{-1}| = |bb^{-1}| = |1| = 1</math>, we have <math>|b^{-1}| = |b|^{-1}</math><br /><br />Conclusion: <math>|a||b^{-1}| = |a|(|b|^{-1}) = \frac{|a|}{|b|}</math>.
* <math>\left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}</math>. Considere <math>b \neq 0</math>. Usando um exponente negativo caímos na propriedade anterior. Assim: <br /><br /><math>\left|\frac{a}{b}\right| = |ab^{-1}| = |a||b^{-1}|</math><br /><br />Da propriedade anterior: <math>|b||b^{-1}| = |bb^{-1}| = |1| = 1</math>, we have <math>|b^{-1}| = |b|^{-1}</math><br /><br />Conclusão: <math>|a||b^{-1}| = |a|(|b|^{-1}) = \frac{|a|}{|b|}</math>.




* <math>|a - b|^2 = (a - b)^2</math>. This property says that the area of a square can never be negative. Because the distance between two points cannot be negative. If we calculate the difference between two numbers, it can be either positive or negative, assuming they are different numbers. But since we are calculating the area of a square, it won't be negative.<br /><br /><math>|a - b|^2 = |a - b||a -b| = |(a - b)^2| = (a - b)^2</math>.
* <math>|a - b|^2 = (a - b)^2</math>. Esta propriedade diz que a área de um quadrado não pode ser negativa. Porque a distância entre dois pontos não pode ser negativa. Se calcularmos a diferença entre dois números, ela só pode ser negativa ou positiva. Desde que os números sejam diferentes entre si. Porém, estamos calculando uma área de um quadrado, o que elimina resultados negativos.<br /><br /><math>|a - b|^2 = |a - b||a -b| = |(a - b)^2| = (a - b)^2</math>.




* <math>\sqrt{x^2} = |x|</math>. Any ''(real)'' number, negative or not, squared, is positive because it means the area of a square. This happens to coincide with the definition of the absolute value. Both areas and lengths are always positive.<br /><br />We know that <math>x^2 \geq 0, \ \forall x \in \mathbb{R}</math> and from the previous properties <math>|x|^2 = x^2</math> it follows that <math>\sqrt{x^2} = |x|</math>. ''(to take the square root on both sides is the same as to calculate the 1/2 power on both sides)''.
* <math>\sqrt{x^2} = |x|</math>. Qualquer número ''(real)'', negativo ou não, elevado ao quadrado, é positivo porque é a área de um quadrado. Isto coincide com a definição do valor absoluto. Tanto áreas quanto distâncias sempre são positivas.<br /><br />Sabemos que <math>x^2 \geq 0, \ \forall x \in \mathbb{R}</math> e das propriedades anteriores que <math>|x|^2 = x^2</math>. Assim <math>\sqrt{x^2} = |x|</math>. ''(tirar a raiz quadrada em ambos os lados é o mesmo que elevar ambos os lados a 1/2)''




* <math>\text{If} \ a > 0, |x| < a \iff -a < x < a</math>. There are two graphical ways to visualise this. One is a number line. Suppose <math>a = 10</math>. Then <math>x</math> is bounded between two extremes, 10 and -10. For example, we can think on 9.999 (don't write .999...!!). Any number in between the two extremes satisfy that property.<br /><br /><div style="text-align: center;">[[file:modulus_circle.png|200px]]</div><br />The other way is to view a circle with the center at <math>x</math> and radius equal to <math>|a - x|</math>. The property states that <math>x</math> is located anywhere along the circle's diameter, except for the two extremes, <math>-a</math> and <math>a</math>. How to prove that that property is true? We use the definition of the absolute value:<br /><br />If <math>x = 0 \implies |a| > 0</math>. Else <math>x = a = 0</math>, but we began assuming that <math>a > 0</math>.<br /><br />If <math>x > 0</math> there comes the question <math>x > a</math> or <math>x < a</math>? Let's ignore the first case because we want to prove that the <math>x</math> is somewhere along the circle's diameter, not outside the circle:<br /><br /><math>0 < x < a \implies 0 < |x| < a \iff -a < x < a</math>. Then we can conclude that <math>-a < 0 < x \iff |x| < a</math>. ''(if you didn't follow, remember that <math>a</math> is positive and therefore, <math>x</math> is also positive. Choose two positive numbers and see for yourself on the figure above)''<br /><br />Now there is the unsolved <math>x < 0</math> case (we first considered the positive, now comes the negative):<br /><br /><math> |x| < a \implies -x < a</math> and <math>x < a</math>. But we can invert the sign as such <math>x > -a</math>. Both the previous cases are one <math>-a < x < a</math>. We proved that <math>|x| < a \implies -a < x < a</math>.<br /><br />Now the reversed implication:<br /><br />If <math>x > 0, \ |x| = x</math>. Then <math>x < a</math>.<br /><br />If <math>x < 0, \ |x| = -x</math>. Then <math>-x < a</math> is equal to <math>x > -a</math> and <math>|x| < a</math>.<br /><br />Conclusion: <math>-a < x < a \implies |x| < a</math>.
* <math>\text{Se} \ a > 0, |x| < a \iff -a < x < a</math>. Há duas formas gráficas de visualizar isto. Uma é a reta dos números. Suponha que <math>a = 10</math>. Então <math>x</math> esta limitado entre dois extremos, 10 e -10. Por exemplo, podemos pensar em 9.999 (não escreva .999... !!). Qualquer número entre dois extremos finitos satisfaz esta propriedade.<br /><br /><div style="text-align: center;">[[file:modulus_circle.png|200px]]</div><br />A outra forma é visualizar um círculo com o centro em <math>x</math> e raio igual a  <math>|a - x|</math>. A propriedade estabelece que <math>x</math> esta localizado em algum ponto entre <math>-a</math> e <math>a</math>, exceto nas extremidades. Como provar que a propriedade é verdadeira? Usamos a definição do valor absoluto:<br /><br />Se <math>x = 0 \implies |a| > 0</math>. Senão <math>x = a = 0</math>, mas começamos assumindo que <math>a > 0</math>.<br /><br />Se <math>x > 0</math> vem a questão: <math>x > a</math> ou <math>x < a</math>? Vamos começar ignorando o primeiro caso porque queremos provar que <math>x</math> esta em algum lugar no diâmetro do círculo, não fora deste:<br /><br /><math>0 < x < a \implies 0 < |x| < a \iff -a < x < a</math>. Podemos concluir que <math>-a < 0 < x \iff |x| < a</math>. ''(se você não acompanhou, lembre-se que <math>a</math> é positivo. Portanto, <math>x</math> também é positivo. Escolha dois números positivos e veja você mesmo na figura acima)''<br /><br />Sobrou o caso <math>x < 0</math> (primeiro consideramos valores positivos, agora precisamos analisar os negativos): <br /><br /><math> |x| < a \implies -x < a</math> e <math>x < a</math>. Mas podemos inverter o sinal assim <math>x > -a</math>. Os dois casos anteriores podem ser escritos num só <math>-a < x < a</math>. Provamos que <math>|x| < a \implies -a < x < a</math>.<br /><br />Agora a implicação oposta:<br /><br />Se <math>x > 0, \ |x| = x</math>. Então <math>x < a</math>.<br /><br />Se <math>x < 0, \ |x| = -x</math>. Então <math>-x < a</math> é igual a  <math>x > -a</math> e <math>|x| < a</math>.<br /><br />Conclusão: <math>-a < x < a \implies |x| < a</math>.




* <math>|a + b| \le |a| + |b|</math>. Triangle inequality. In Euclidean geometry, the sum of the lengths of two sides of a triangle can never be less than the length of the third side. Or, from another point of view, if we divide a line in two parts, the sum of the parts cannot be greater than the original line. There is more than one way to prove it, I'll show one:<br /><br /><math>-|a| \le a \le |a|</math><br /><math>-|b| \le b \le |b|</math> (a number is bounded between itself and its opposite)<br /><br />Add up both: <math>-|a| - |b| \le a + b \le |a| + |b|</math><br /><br />The previous property states that <math>|a| \le b \iff -b \le a \le b</math><br /><br />Conclusion: <math>|a + b| \le |a| + |b|</math>
* <math>|a + b| \le |a| + |b|</math>. Desigualdade triangular. Na geometria euclidiana a soma dos lados de dois lados de um triângulo não pode ser menor do que o comprimento do terceiro. Ou então, de outro ponto de vista, se dividirmos um segmento em duas partes, a soma das partes não pode ser maior do que o segmento original. Há mais de uma forma de fazer a demonstração, vou mostrar uma:<br /><br /><math>-|a| \le a \le |a|</math><br /><math>-|b| \le b \le |b|</math> (um número é limitado entre si mesmo e o seu oposto)<br /><br />Some ambos: <math>-|a| - |b| \le a + b \le |a| + |b|</math><br /><br />A propriedade anterior estabelece que <math>|a| \le b \iff -b \le a \le b</math><br /><br />Conclusão: <math>|a + b| \le |a| + |b|</math>

Latest revision as of 23:50, 27 July 2022

Todos aprendemos na escola que um número só pode ser positivo ou negativo, com os positivos não precisando de um sinal de mais porque é um padrão adotado no mundo. Sempre assumimos que um número sem o sinal é positivo. Agora os livros e os professores que eu tive na escola sempre diziam que o módulo "apaga" o sinal. Eu sempre achei esta operação sem sentido porque se um número não tem sinal, então ele não é nem positivo e nem negativo? O que ele é?

Eu me lembro de ter tido muitas dificuldades com sinais e regras. Há vários professores que gravam vídeos ou criam páginas discutindo exatamente este problema de regra de sinais. Eu não posso falar pelos outros, mas é possível que muita gente cometa este erro [math]\displaystyle{ |a - b| = a + b }[/math]. Ou seja, se somos ensinados que o módulo apaga o final, então o sinal de menos some como acabamos de escrever? O modo com que os professores ensinam a "apagar" o sinal de menos dos números pode muito bem levar ao erro anterior. Pode parecer absurdo e para falar a verdade eu nunca vi o erro a seguir de fato, mas com certeza algum professor já deve ter visto isto [math]\displaystyle{ |2 \pm 2| = 22 }[/math]. Eu sei que não faz sentido, mas alguém pode acabar interpretando o valor absoluto como literalmente apagar o sinal da existência.

O modo como eu fui ensinado sobre o valor absoluto de um número causa mais danos do que ajuda a entender. Muitas vezes eu me perguntava se existe uma operação além das quatro básicas da aritmética. Afinal, apagar o sinal é o que? O valor absoluto, por definição, é uma função mas só vamos aprender sobre funções muito tempo depois do valor absoluto.

[math]\displaystyle{ |x| = \begin{cases} x,& \ \text{se} \ x \gt 0 \\ 0,& \ \text{se} \ x = 0 \\ -x,& \ \text{se} \ x \lt 0 \end{cases} }[/math]

Você pode ter perguntando sobre o caso do meio. O zero pode ser colocado no primeiro ou no segundo, tanto faz. Ou pode ficar separado num caso à parte. Não muda a definição. Um número nunca pode ser maior ou menor do que ele mesmo, só pode ser igual a ele mesmo.

As propriedades

  • [math]\displaystyle{ |x| \geq 0 }[/math]. Distância negativa não existe. Ou é positiva ou nula.


  • [math]\displaystyle{ |a - b| = |b - a| }[/math]. A distância entre dois pontos (na reta) não depende da ordem dos mesmos. Temos três casos a considerar: ambos são positivos, ambos são negativos ou um é negativo e o outro é positivo. Num caso mais geral, a diferença entre dois números só pode ser positiva, negativa ou nula.

    1° caso: [math]\displaystyle{ a - b \gt 0 \implies b - a \lt 0 }[/math]. Então, [math]\displaystyle{ |a - b| = a - b }[/math] e [math]\displaystyle{ |b - a| = -(b - a) = -b + a = a - b }[/math]. (se você não acompanhou, é a definição do próprio valor absoluto).

    2° caso: [math]\displaystyle{ a - b \lt 0 \implies a - b \gt 0 }[/math]. Então, [math]\displaystyle{ |a - b| = a - b }[/math] e [math]\displaystyle{ |a - b| = -(a - b) = -a + b = b - a }[/math].

    3° caso: [math]\displaystyle{ a - b = 0 \implies a = -b \ \text{ou} \ -a = b }[/math]. Então, [math]\displaystyle{ |a - b| = |b - a| = 0 }[/math].


  • [math]\displaystyle{ |x| = 0 \iff x = 0 }[/math]. +0 ou -0 não tem sentido. Não faz sentido pensar no zero como positivo ou negativo.


  • [math]\displaystyle{ |x| = |-x| }[/math]. Propriedade reflexiva. Podemos reescrever assim [math]\displaystyle{ x = -(-x) = (-1)(-x) }[/math]. Eu me lembro de ter confundido esta propriedade com [math]\displaystyle{ -1 = 1 }[/math] diversas vezes, mais especificamente no que diz respeito a gráficos de funções. Muita gente se confunde e o problema não é achar que um número é igual ao seu par negativo, mas pensar que ambos se localizam no mesmo ponto no plano cartesiano.


  • [math]\displaystyle{ |ab| = |a||b| }[/math]. Intuitivamente é fácil notar que ambos são iguais porque ambos os lados são sempre positivos. Prova mais formal:

    Vamos começar dizendo que [math]\displaystyle{ |x|^2 = |x^2| = x^2,\ \forall x \in \mathbb{R}. }[/math] Teste dois números, um positivo e outro negativo para verificar. Ou use [math]\displaystyle{ x^2 = a }[/math] para ter uma perspectiva diferente.

    [math]\displaystyle{ x^2 \geq 0, \ \forall x \in \mathbb{R} \implies |x^2| = x^2 }[/math]. Se você não acompanhou, tente a substituição mencionada anteriormente.

    Se [math]\displaystyle{ x \gt 0 }[/math], então [math]\displaystyle{ |x| = x }[/math]. [math]\displaystyle{ \therefore |x|^2 = x^2 }[/math].
    Se [math]\displaystyle{ x \lt 0 }[/math], então [math]\displaystyle{ |x| = -x }[/math]. [math]\displaystyle{ \therefore |x|^2 = (-x)^2 = x^2 }[/math]. Se você não acompanhou, lembre-se que o valor absoluto inverte o sinal de um número negativo. Algumas pessoas podem pensar que este passo é o mesmo que trocar | | por ( ).
    Se [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math], então [math]\displaystyle{ |0| = 0 }[/math]. [math]\displaystyle{ \therefore |0|^2 = 0^2 = 0 }[/math].

    [math]\displaystyle{ |ab|^2 = (ab)^2 = a^2b^2 = |a|^2|b|^2 \Rightarrow |ab| = |a||b| }[/math]. Isto prova a propriedade.


  • [math]\displaystyle{ \left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|} }[/math]. Considere [math]\displaystyle{ b \neq 0 }[/math]. Usando um exponente negativo caímos na propriedade anterior. Assim:

    [math]\displaystyle{ \left|\frac{a}{b}\right| = |ab^{-1}| = |a||b^{-1}| }[/math]

    Da propriedade anterior: [math]\displaystyle{ |b||b^{-1}| = |bb^{-1}| = |1| = 1 }[/math], we have [math]\displaystyle{ |b^{-1}| = |b|^{-1} }[/math]

    Conclusão: [math]\displaystyle{ |a||b^{-1}| = |a|(|b|^{-1}) = \frac{|a|}{|b|} }[/math].


  • [math]\displaystyle{ |a - b|^2 = (a - b)^2 }[/math]. Esta propriedade diz que a área de um quadrado não pode ser negativa. Porque a distância entre dois pontos não pode ser negativa. Se calcularmos a diferença entre dois números, ela só pode ser negativa ou positiva. Desde que os números sejam diferentes entre si. Porém, estamos calculando uma área de um quadrado, o que elimina resultados negativos.

    [math]\displaystyle{ |a - b|^2 = |a - b||a -b| = |(a - b)^2| = (a - b)^2 }[/math].


  • [math]\displaystyle{ \sqrt{x^2} = |x| }[/math]. Qualquer número (real), negativo ou não, elevado ao quadrado, é positivo porque é a área de um quadrado. Isto coincide com a definição do valor absoluto. Tanto áreas quanto distâncias sempre são positivas.

    Sabemos que [math]\displaystyle{ x^2 \geq 0, \ \forall x \in \mathbb{R} }[/math] e das propriedades anteriores que [math]\displaystyle{ |x|^2 = x^2 }[/math]. Assim [math]\displaystyle{ \sqrt{x^2} = |x| }[/math]. (tirar a raiz quadrada em ambos os lados é o mesmo que elevar ambos os lados a 1/2)


  • [math]\displaystyle{ \text{Se} \ a \gt 0, |x| \lt a \iff -a \lt x \lt a }[/math]. Há duas formas gráficas de visualizar isto. Uma é a reta dos números. Suponha que [math]\displaystyle{ a = 10 }[/math]. Então [math]\displaystyle{ x }[/math] esta limitado entre dois extremos, 10 e -10. Por exemplo, podemos pensar em 9.999 (não escreva .999... !!). Qualquer número entre dois extremos finitos satisfaz esta propriedade.


    A outra forma é visualizar um círculo com o centro em [math]\displaystyle{ x }[/math] e raio igual a [math]\displaystyle{ |a - x| }[/math]. A propriedade estabelece que [math]\displaystyle{ x }[/math] esta localizado em algum ponto entre [math]\displaystyle{ -a }[/math] e [math]\displaystyle{ a }[/math], exceto nas extremidades. Como provar que a propriedade é verdadeira? Usamos a definição do valor absoluto:

    Se [math]\displaystyle{ x = 0 \implies |a| \gt 0 }[/math]. Senão [math]\displaystyle{ x = a = 0 }[/math], mas começamos assumindo que [math]\displaystyle{ a \gt 0 }[/math].

    Se [math]\displaystyle{ x \gt 0 }[/math] vem a questão: [math]\displaystyle{ x \gt a }[/math] ou [math]\displaystyle{ x \lt a }[/math]? Vamos começar ignorando o primeiro caso porque queremos provar que [math]\displaystyle{ x }[/math] esta em algum lugar no diâmetro do círculo, não fora deste:

    [math]\displaystyle{ 0 \lt x \lt a \implies 0 \lt |x| \lt a \iff -a \lt x \lt a }[/math]. Podemos concluir que [math]\displaystyle{ -a \lt 0 \lt x \iff |x| \lt a }[/math]. (se você não acompanhou, lembre-se que [math]\displaystyle{ a }[/math] é positivo. Portanto, [math]\displaystyle{ x }[/math] também é positivo. Escolha dois números positivos e veja você mesmo na figura acima)

    Sobrou o caso [math]\displaystyle{ x \lt 0 }[/math] (primeiro consideramos valores positivos, agora precisamos analisar os negativos):

    [math]\displaystyle{ |x| \lt a \implies -x \lt a }[/math] e [math]\displaystyle{ x \lt a }[/math]. Mas podemos inverter o sinal assim [math]\displaystyle{ x \gt -a }[/math]. Os dois casos anteriores podem ser escritos num só [math]\displaystyle{ -a \lt x \lt a }[/math]. Provamos que [math]\displaystyle{ |x| \lt a \implies -a \lt x \lt a }[/math].

    Agora a implicação oposta:

    Se [math]\displaystyle{ x \gt 0, \ |x| = x }[/math]. Então [math]\displaystyle{ x \lt a }[/math].

    Se [math]\displaystyle{ x \lt 0, \ |x| = -x }[/math]. Então [math]\displaystyle{ -x \lt a }[/math] é igual a [math]\displaystyle{ x \gt -a }[/math] e [math]\displaystyle{ |x| \lt a }[/math].

    Conclusão: [math]\displaystyle{ -a \lt x \lt a \implies |x| \lt a }[/math].


  • [math]\displaystyle{ |a + b| \le |a| + |b| }[/math]. Desigualdade triangular. Na geometria euclidiana a soma dos lados de dois lados de um triângulo não pode ser menor do que o comprimento do terceiro. Ou então, de outro ponto de vista, se dividirmos um segmento em duas partes, a soma das partes não pode ser maior do que o segmento original. Há mais de uma forma de fazer a demonstração, vou mostrar uma:

    [math]\displaystyle{ -|a| \le a \le |a| }[/math]
    [math]\displaystyle{ -|b| \le b \le |b| }[/math] (um número é limitado entre si mesmo e o seu oposto)

    Some ambos: [math]\displaystyle{ -|a| - |b| \le a + b \le |a| + |b| }[/math]

    A propriedade anterior estabelece que [math]\displaystyle{ |a| \le b \iff -b \le a \le b }[/math]

    Conclusão: [math]\displaystyle{ |a + b| \le |a| + |b| }[/math]
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