Exercícios de álgebra vetorial

Os exemplos a seguir são todos decorrência das propriedades dos números reais. Independem das coordenadas dos vetores. Nos exemplos onde há a norma de um vetor a demonstração não depende de saber calcular a norma diretamente, utiliza-se as propriedades do módulo de um número real.

A validade das operações provadas aqui permite que a álgebra vetorial funcione.

1. Prove que [math]\displaystyle{ -(-\overrightarrow{u}) = \overrightarrow{u} }[/math].

[math]\displaystyle{ \begin{align*} -(-\overrightarrow{u}) = & \text{ } (-1)(-1)\overrightarrow{u} \; (\text{associativa})\\ = & \text{ } (1)\overrightarrow{u} \\ = & \text{ } \overrightarrow{u} \end{align*} }[/math]

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2. Prove que [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} = -\overrightarrow{u} \iff \overrightarrow{u} = \overrightarrow{0} }[/math].

[math]\displaystyle{ \begin{align*} \overrightarrow{u} + \overrightarrow{u} = & \text{ } -\overrightarrow{u} + \overrightarrow{u} & \; (\text{somando } \overrightarrow{u} \; \text{em ambos os lados da equação}) \\ 2\overrightarrow{u} = & \text{ } \overrightarrow{0} \\ \overrightarrow{u} = & \text{ } \frac{\overrightarrow{0}}{2} & \; (\text{dividindo ambos os lados por 2}) \\ \overrightarrow{u} = & \text{ } \overrightarrow{0} \end{align*} }[/math]

Alternativa. Prova por absurdo. Suponha que [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} \neq 0 }[/math]. Então podemos dividir pelo comprimento de [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} }[/math]

[math]\displaystyle{ \begin{align*} \frac{\overrightarrow{u}}{||\overrightarrow{u}||} = & \text{ } -\frac{\overrightarrow{u}}{||\overrightarrow{u}||} \\ 2\frac{\overrightarrow{u}}{||\overrightarrow{u}||} = & \text{ } \overrightarrow{0} & (\text{somando} \; \frac{\overrightarrow{u}}{||\overrightarrow{u}||} \; \text{em ambos os lados}) \\ \overrightarrow{u} = & \text{ } \frac{||\overrightarrow{u}||}{2}\overrightarrow{0} & \; (\text{multiplicando por} \; ||\overrightarrow{u}|| \; \text{em ambos os lados}) \\ \overrightarrow{u} = & \text{ } \overrightarrow{0} \end{align*} }[/math]

O que contraria a suposição de que o vetor não era nulo.

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3. Prove que [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} \neq \overrightarrow{0} \Rightarrow ||\overrightarrow{u}|| \gt 0 }[/math]

Apliquemos a definição de módulo de um número real (lembre-se que a norma de um vetor é um número real)

[math]\displaystyle{ ||\overrightarrow{u}|| \gt 0, \; \forall \overrightarrow{u} \neq \overrightarrow{0} }[/math]

A norma de um vetor é um valor positivo ou nulo por definição, não existe norma negativa. Se o vetor não é nulo, resta a norma ser positiva.

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4. Prove que [math]\displaystyle{ ||\overrightarrow{u}|| = 0 \iff \overrightarrow{u} = \overrightarrow{0} }[/math]

Novamente, pela definição de módulo de um número real

[math]\displaystyle{ \begin{align*} ||\overrightarrow{u}|| \gt 0, \; & \text{ } \forall \overrightarrow{u} \neq \overrightarrow{0} \\ ||\overrightarrow{u}|| = 0, \; & \text{ } \text{se} \; \overrightarrow{u} = \overrightarrow{0} \end{align*} }[/math]

Se o vetor não for nulo, cai no exercício anterior.

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5. Prove que [math]\displaystyle{ ||-\overrightarrow{u}|| = ||\overrightarrow{u}|| }[/math].

[math]\displaystyle{ \begin{align*} ||\overrightarrow{u}|| \gt & \text{ } 0, \; & \forall \overrightarrow{u} \neq \overrightarrow{0} \\ ||\overrightarrow{u}|| = & \text{ } 0, \; & \text{se} \; \overrightarrow{u} = \overrightarrow{0} \\ ||-\overrightarrow{u}|| = & \text{ } ||\overrightarrow{u}||, \; & \forall \overrightarrow{u} \end{align*} }[/math]

A norma é positiva e a norma do vetor nulo é nula, isso vem dos exercícios anteriores. Resta então que qualquer vetor obedece à propriedade.