Coordenadas no plano e no espaço

Sistema cartesiano ortogonal no plano: um sistema de eixos ortogonais no plano é constituído de duas retas orientadas x e y, perpendiculares entre si e de mesma origem O. Denominamos a reta orientada x de eixo das abcissas, eixo x ou ainda eixo horizontal, enquanto a reta orientada y é o eixo das ordenadas, eixo y ou ainda eixo vertical. Os eixos dividem o plano em quatro quadrantes, ordenados no sentido horário. É uma mera convenção de sentido, não haveria nenhum ganho ou prejuízo escolhendo-se o sentido anti-horário para ordenar os quadrantes.

Por um ponto qualquer do plano traçam-se perpendiculares sobre cada um dos eixos, determinando neles os pontos [math]\displaystyle{ \text{P}_x }[/math] e [math]\displaystyle{ \text{P}_y }[/math] de tal sorte que [math]\displaystyle{ \text{x} = \text{OP}_x }[/math] e [math]\displaystyle{ \text{y} = \text{OP}_y }[/math]. As coordenadas x e y de um ponto são casos particulares de projeção ortogonal de um ponto P sobre um eixo.

Desta forma, podemos associar a cada ponto P do plano um par de coordenadas de números reais. Assim o ponto P fica determinado pelas suas coordenadas cartesianas ou também chamadas de coordenadas retangulares:

[math]\displaystyle{ \text{P} = (x, y) }[/math]

onde temos, respectivamente, a primeira (x) e a segunda (y) coordenadas de P.

Reciprocamente, dado um par de números reais, localiza-se no plano um único ponto P. Observe que a correspondência biunívoca entre pontos e pares de coordenadas no plano é uma função bijetora. No espaço de três ou mais dimensões a mesma correspondência se repete. Cuidado com a confusão entre gráfico de função e equações que representam figuras geométricas! As coordenadas de cada ponto de uma função de uma ou mais variáveis sempre são únicas, independentemente da função ser bijetora ou não. Mas o valor da função em um ponto não necessariamente é calculado por apenas um valor ou valor(es) real(is). Ex: uma função par.

Observação: o sistema cartesiano pode não ser ortogonal, com eixos não perpendiculares entre si. O fato dos eixos serem perpendiculares entre si nos oferece algumas propriedades algébricas e geométricas que não seriam possíveis num sistema não ortogonal. Neste site não são abordados sistemas de coordenadas não ortogonais.

---

Sistema cartesiano ortogonal no espaço: no espaço tridimensional adiciona-se um terceiro eixo, o eixo z ou eixo das cotas. Os três eixos: ordenada, abscissa e cota, dividem o espaço em oito partes chamadas de octantes ou oitantes.

No espaço um ponto fica caracterizado por uma tripla, chamada de terna:

[math]\displaystyle{ \text{P} = (x, y, z) }[/math]

Dimensões maiores: para quatro ou mais dimensões os eixos adicionais não tem mais nomes, mas a propriedade deles serem ou não ortogonais para definirmos sistemas de coordenadas ortogonais ou não continua válida. A função bijetora que associa pontos no espaço e as suas respectivas coordenadas continua sendo válida.

---

Na grande maioria dos casos utiliza-se uma base ortonormal para encontrar pontos no espaço. Adota-se um ponto [math]\displaystyle{ \text{O} }[/math] chamado de origem e uma base [math]\displaystyle{ \text{E} = \{\overrightarrow{e}_x, \overrightarrow{e}_y, \overrightarrow{e}_z \} }[/math]. As coordenadas de qualquer ponto no espaço ficam determinadas pela soma do ponto O com uma combinação linear dos vetores da base, assim: [math]\displaystyle{ \text{P} = \text{O} + a\overrightarrow{e}_x + b\overrightarrow{e}_y + c\overrightarrow{e}_z }[/math], de maneira que o vetor que desloca o ponto origem até [math]\displaystyle{ \text{P} }[/math] é [math]\displaystyle{ \overrightarrow{\text{OP}} = a\overrightarrow{e}_x + b\overrightarrow{e}_y + c\overrightarrow{e}_z }[/math]. Note que se [math]\displaystyle{ \text{O} = (0,0,0) }[/math] teremos que a terna [math]\displaystyle{ (a,b,c) }[/math] coincidirá, numericamente, tanto com as coordenadas do vetor [math]\displaystyle{ \overrightarrow{\text{OP}} }[/math] quanto do ponto [math]\displaystyle{ \text{P} }[/math].

Os vetores da base não precisariam ser dois a dois ortogonais, mas o fato de termos uma base ortogonal permite utilizar as propriedades geométricas do produto escalar, vetorial e misto. As normas dos vetores tambem poderiam ser diferentes entre si, mas tendo todos os vetores norma 1 facilita muito na expressão das coordenadas de um ponto.