Equação da reta

Equação da reta na forma vetorial

[math]\displaystyle{ r: \text{X} = \text{A} + \lambda\overrightarrow{v} }[/math]

É definida a partir de um ponto A origem e um vetor diretor [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} }[/math]. Assim, a cada número real [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] fica associado um ponto X de r e, reciprocamente, se X é um ponto de r, existe [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] satisfazendo a equação. Para que X pertença a reta é necessário e suficiente que os vetores X - A e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} }[/math] sejam linearmente dependentes, isto é, que exista um número real [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] tal que: [math]\displaystyle{ \text{X} - \text{A} = \lambda \overrightarrow{v} }[/math].

A reta tambem pode ser definida por dois pontos A e B. Neste caso o vetor diretor será B - A (ou ao contrário se invertermos o sentido) e a equação será: [math]\displaystyle{ \text{X} = \text{A} + \lambda(\text{B} - \text{A}) }[/math].

A norma do vetor diretor [math]\displaystyle{ ||\overrightarrow{v}|| }[/math] pode ser entendida como uma unidade de medida da reta.

Num exemplo físico: X é uma posição final, A uma posição inicial, o vetor diretor a velocidade e [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] o tempo. A equação vetorial da reta descreve um movimento retilíneo uniforme no espaço.

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Equação da reta na forma paramétrica

A equação paramétrica é facilmente obtida a partir da equação vetorial, como se segue (vale lembrar que as coordenadas do vetor diretor e do ponto origem estão dadas em relação a um sistema de referência adotado):

[math]\displaystyle{ (x,y,z) = (x_0,y_0,z_0) + \lambda(a,b,c) }[/math]

[math]\displaystyle{ \begin{cases} x & = & x_0 & + & \lambda a \\ y & = & y_0 & + & \lambda b \\ z & = & z_0 & + & \lambda c \end{cases} }[/math]

As coordenadas x, y e z de um ponto na reta ficam expressas em função do parâmetro [math]\displaystyle{ \lambda }[/math].

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Equação da reta na forma simétrica

A equação simétrica é facilmente obtida a partir da equação paramétrica, como se segue:

[math]\displaystyle{ \begin{cases} \lambda = \frac{x - x_0}{a} \\ \\ \lambda = \frac{y - y_0}{b} \\ \\ \lambda = \frac{z - z_0}{c} \end{cases} }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c} }[/math]

Note que a equação nesta forma exige que abc ≠ 0.

Cuidado! Na forma paramétrica o ponto origem é dado por [math]\displaystyle{ (x_0, y_0, z_0) }[/math], mas na forma simétrica o mesmo ponto aparece com o sinal negativo, as coordenadas não são [math]\displaystyle{ (-x_0, -y_0, -z_0) }[/math]! Do mesmo modo, se o sinal for negativo na forma paramétrica, o sinal muda para positivo na forma simétrica. Os sinais de a, b e c tambem não devem ser omitdos, se for negativo não inverta o sinal no numerador, senão perde-se a informação sobre o sinal da coordenada do vetor diretor e inverte-se o sinal da coordenada do ponto origem.

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As equações da reta podem ter n coordenadas para espaços de dimensões maiores do que três, mas a geometria analítica em dimensões maiores do que três não é estudada num curso introdutório.