Transformações de gráficos de funções: Difference between revisions

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Dependendo de como você aprendeu ''(ou pior ainda, não aprendeu nada!!)'' funções na escola, os gráficos podem ser um grande desafio a ser superado. Quando resolvemos equações estamos fazendo contas aritméticas básicas e, na maior parte do tempo, sem pensar no gráfico. Unindo a visualização gráfica com operações aritméticas simples conseguimos uma interpretação mais completa dos problemas.
Dependendo de como você aprendeu ''(ou pior ainda, não aprendeu nada!!)'' funções na escola, os gráficos podem ser um grande desafio a ser superado. Quando resolvemos equações estamos fazendo contas aritméticas básicas e, na maior parte do tempo, sem pensar no gráfico. Unindo a visualização gráfica com operações aritméticas simples conseguimos uma interpretação mais completa dos problemas.


Os livros que eu conheço não trazem muitas explicações a respeito da translação de funções. Eles somente listam as propriedades, dão exemplos, mas não aprofundam. Eu achei que o conceito de função composta ajudaria a evitar confusões com o sinal de menos em alguns casos.
Os livros que eu conheço não trazem muitas explicações a respeito da transladação de funções. Eles somente listam as propriedades, dão exemplos, mas não aprofundam. Eu achei que o conceito de função composta ajudaria a evitar confusões com o sinal de menos em alguns casos.


Em alguns trechos eu menciono a álgebra linear porque tem conceitos da álgebra linear que ajudam a entender o que acontece com funções quando transformamos seus respectivos gráficos com algumas operações. Os professores de cálculo frequentemente mencionam que multiplicar uma função por uma constante é uma '''"operação ou transformação linear"''' sem dar maiores explicações. '''Linear''' diz respeito à deformação do gráfico ser constante. O gráfico não é ''"destruído"'' no sentido de perder o seu formato original, como curvas sendo esticadas ou retas dobradas por exemplo. '''Não-linear''' diz respeito a um fator de deformação que não é constante. O gráfico perde a sua forma original, com perda das suas proporções originais.
Em alguns trechos eu menciono a álgebra linear porque tem conceitos da álgebra linear que ajudam a entender o que acontece com funções quando transformamos seus respectivos gráficos com algumas operações. Os professores de cálculo frequentemente mencionam que multiplicar uma função por uma constante é uma '''"operação ou transformação linear"''' sem dar maiores explicações. '''Linear''' diz respeito à deformação do gráfico ser constante. O gráfico não é ''"destruído"'' no sentido de perder o seu formato original, como curvas sendo esticadas ou retas dobradas por exemplo. '''Não-linear''' diz respeito a um fator de deformação que não é constante. O gráfico perde a sua forma original, com perda das suas proporções originais.
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| style="padding:1em;" | [[file:translation3.png|200px]]<br /><br />(Not to scale) || Now what about deforming the graph? We want to stretch / squeeze / shrink / enlarge it. Let's multiply the function by <math>n</math>. What's the difference between <math>nf(x)</math> and <math>f(nx) \ ?</math> In the first case we are making the function grow faster, <math>nf(x) > f(x)</math> for all <math> n > 1</math> and all <math>f(x) > 0</math> (careful with the conditions!). In the second case (careful with <math>nx^2 \neq (nx)^2</math>!) we are also making the function grow faster, but at the same time we are messing with its argument as well.
| style="padding:1em;" | [[file:translation3.png|200px]]<br /><br />(Sem escala) || E agora deformando o gráfico? Queremos esticar / comprimir / encolher / alargar o gráfico. Vamos multiplicar a função por <math>n</math>. Qual a diferença entre <math>nf(x)</math> e <math>f(nx) \ ?</math> No primeiro caso estamos fazendo a função crescer mais rápido, <math>nf(x) > f(x)</math> para todo <math> n > 1</math> e todo <math>f(x) > 0</math> (cuidado com as condições!). No segundo caso (cuidado com  <math>nx^2 \neq (nx)^2</math>!) também estamos fazendo a função crescer mais rápido, mas ao mesmo tempo estamos mexendo no argumento.


What happens if <math>0 < n < 1 ?</math> For <math>\frac{1}{2}f(x) = \frac{1}{2}(x^2)</math> we are "slowing down" the speed at which the function grows. For <math>f \left(\frac{1}{2}x \right) = \left(\frac{1}{2}x \right)^2</math> we are also decreasing the function's growth rate. Unfortunately I can't show an animation here, but as the constant gets closer to zero, we are "flattening" the parabola. When the sign inverts, the graph also inverts.
O que acontece se <math>0 < n < 1 ?</math> Para <math>\frac{1}{2}f(x) = \frac{1}{2}(x^2)</math> estamos "desacelerando" a velocidade de crescimento da função. Para <math>f \left(\frac{1}{2}x \right) = \left(\frac{1}{2}x \right)^2</math> também estamos diminuindo a taxa de crescimento da função. Infelizmente eu não posso mostrar uma animação aqui, mas conforme a constante se aproxima de zero, estamos "achatando" a parábola. Quando o sinal inverte, o gráfico também inverte.


For two variables we can deform the graph along one variable or both at the same time. However, to multiply the function by a constant is going to multiply both variables at the same time in this case. Remember, the <math>z</math> is dependant on each pair <math>(x,y)</math>.
Para duas variáveis podemos deformar o gráfico ao longo de uma variável ou ambas ao mesmo tempo. Porém, multiplicar a função por uma constante irá multiplicar ambas as variáveis simultaneamente neste caso. Lembr-se que <math>z</math> depende de cada par (x,y)</math>.


'''Note:''' in cases where <math>nf(x) = f(nx)</math> is true, this is one of the properties of a ''linear transformation'' in linear algebra. For two or more variables there is something called ''homogeneous function'' that I'm not going to discuss in this page.
'''Observação:''' em casos onde <math>nf(x) = f(nx)</math> for verdade, esta é uma das propriedades de uma ''transformação linear'' em álgebra linear. Para duas ou mais variáveis há algo semelhante chamado de ''função homogênea'' que não vou discutir aqui.
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==Reflecting the graph horizontally==
==Reflexão horizontal do gráfico==


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| style="padding:1em;" | [[file:translation6.png|200px]] <br /><br /> (Not to scale)|| When a function is even this operation does nothing to it. That's why for this example I'm using <math>f(x) = x^3</math>. When the power is odd, parenthesis doesn't change the sign. But when the power is even, it does avoid the confusion <math>(-x)^2 \neq -x^2</math>. To avoid confusion because of the minus sign I'm going to use a composite function.
| style="padding:1em;" | [[file:translation6.png|200px]] <br /><br /> (Sem escala)|| Quando uma função é par esta operação não faz nada na mesma. É por isto que neste exemplo eu estou usando <math>f(x) = x^3</math>. Quando a potência é impar, os parentesis não mudam o sinal. Mas quando a potência é par, aí os parentesis evitam a confusão <math>(-x)^2 \neq -x^2</math>. Para evitar a confusão mencionada eu vou usar uma função composta.


<math>g(x) = -x</math> is a function that does nothing more than to invert the sign of each number. It multiplies each number we apply to it by -1.
<math>g(x) = -x</math> é uma função que não faz nada além de inverter o sinal de cada número. Cada entrada é multiplicada por -1.


<math>f(g(x)) = x^3</math>. It's a cubic that was spin | rotated around the vertical axis. For each positive number that we input. First <math>g(x)</math> inverts its sign, then <math>f(x)</math> calculates the cube of it. In this specific case, to compose the other way around with <math>f(x)</math> first, yields the same result.
<math>f(g(x)) = x^3</math>. É uma cúbica que foi girada | rotacionada ao redor do eixo vertical. Para cada número positivo que entramos com, <math>g(x)</math> inverte o seu sinal, depois <math>f(x)</math> calcula o cubo do mesmo número. Neste caso específico, inverter a ordem da composição das funções dá no mesmo.


When a function is spin | rotated around the vertical axis, there is a "hidden" composite function performing the operation that is to invert the sign of each and every argument.
Quando uma função é girada | rotacionada ao redor do eixo vertical, há uma função composta "escondida" que faz a operação de inverter o sinal de cada argumento.


For two variables it's more complicated. We can invert the sign of one of the variables independently from the other or invert both at the same time.
Para duas variáveis é mais complicado. Podemos inverter o sinal de uma das variáveis independentemente da outra ou inverter o sinal de ambas ao mesmo tempo.


'''Note:''' you may have noticed an interesting fact. When we take an odd function and mirror it, it remains an odd function. When we take an even function and mirror it, it remains an even function. Graphically, it's all due to the fact that the functions themselves are already symmetrical in respect to one axis.
'''Observação:''' você pode ter notado um fato interessante. Quando pegamos uma função ímpear e a esplhamos, ela continua ímpar. Quando pegamos uma função par e a espelhamos, ela continua par. Graficamente isto é explicado pelo fato de que as funções propriamente já são simétricas em relação a um eixo.
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==Translating the graph sideways==
==Transladando a função lateralmente==


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The first way to explain this is pretty simple. What we want to achieve is this: for each step <math>n</math> we take in <math>x</math> to the right, we want each and every point of the graph to move accordingly and not move any units up or down, nor increase or decrease the distance between them. Suppose we use <math> n = 1</math>. We calculate <math>f(1), \ f(2), \ f(3), \ ...</math>. At the horizontal axis we are moving to the right at a constant rate of 1. At the vertical axis, however, each image is moving upwards because we are calculating <math>x^2</math>. Hence, we want <math>f(1), \ f(2), \ f(3), \ ...</math> to not change their respective images before and after moving to the right. How do we "fix" that? We do the opposite, subtract 1 from the function's argument so that each and every image remains at their original heights. In other words <math>f(1 - 1), \ f(2 - 2), \ f(3 - 3), \ ...</math>. Therefore, to move the function's graph to the right by <math>n</math> units we change the argument to <math>(x - n)</math>. The same reasoning to move the function to the left, with the difference of a "+" sign.
O primeiro modo de explicar isto é bem simples. O que queremos é: para cada passo <math>n</math> que dermos em <math>x</math> para a direita, queremos que cada um dos pontos do gráfico se desloque de acordo, sem ir para cima ou para baixo, nem aumentando ou diminuindo a distância entre eles. Suponha que apliquemos <math> n = 1</math>. Calculamos <math>f(1), \ f(2), \ f(3), \ ...</math>. No eixo horizontal estamos indo para a direita numa taxa constante de 1. Porém, no eixo vertical, cada imagem esta se deslocando para cima porque estamos calculando <math>x^2</math>. Ou seja, queremos que <math>f(1), \ f(2), \ f(3), \ ...</math> se mantenham na mesma altura antes e depois de darmos um passo para a direita. Como "consertamos" isto? Fazendo a operação inversa, subtraindo 1 de cada argumento da função para que assim os pontos da imagem se mantenham nas suas respectivas alturas originais. Em outras palavras <math>f(1 - 1), \ f(2 - 2), \ f(3 - 3), \ ...</math>. Portanto, para deslocar o gráfico da função para a direita por <math>n</math> unidades nós mudamos o argumento para <math>(x - n)</math>. O mesmo raciocínio é aplicado para deslocar a função para a esquerda, agora com um sinal de "+" no lugar de "-".




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(the graph is not to scale because it was hand draw)
(gráfico desenhado à mão sem escala)
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<math>g_2(x)</math>. I used the index to differentiate the function from before and after the translation.
<math>g_2(x)</math>. Eu usei um índice para diferenciar a função entre antes e depois da transladação.


The second way to explain this involves rates of change and composite functions. Use the identity function, overlap it with the parabola. They intersect at the origin and at <math>n = n^2 = 1</math>. See that right triangle formed with the points origin, <math>f(n) = g(n)</math> and <math>n \ ?</math> Now move the functions to the right. That triangle remains intact, which means that we didn't change the rate of change of any of the two functions. The root of both functions, however, did change from <math>f(0) = g(0) = 0</math> to a new position at <math>n</math>. Now the rate of change of the identity function being constant means that <math>g(x \pm n) = x \pm n</math>. When we move it down by <math>n</math> units, its root also moves to the right by the same <math>n</math> distance. What's the function that passes through the points <math>(0, \ -n)</math> and <math>(0, \ n) \ ?</math>. It's <math>g_2(x) = x - n</math>. For the parabola's vertex to coincide with the root of <math>g_2</math> we have that <math>f_2(g_2(x)) = (x - n)^2</math>. We want both the parabola and the straight line to have a height of zero there. That's a graphical way to understand composite functions.
A segunda forma de explicar isto envolve taxas de variação e a função composta. Use a função identidade e sobreponha-a com a parábola. Elas se interceptam na origem e em <math>n = n^2 = 1</math>. Vê o triângulo retângulo formado pelos pontos de origem, <math>f(n) = g(n)</math> e <math>n \ ?</math> Agora desloque as funções para a direita. O triângulo permanece intacto, o que significa que não alteramos a taxa de variação de ambas as funções. A raiz das funções, por outro lado, mudou de <math>f(0) = g(0) = 0</math> para uma uma nova posição em <math>n</math>. Como a taxa de variação da função identidade é constante, temos que <math>g(x \pm n) = x \pm n</math>. Ao deslocarmos a função identidade para baixo por <math>n</math> unidades, a sua raiz se desloca para a direita por <math>n</math> unidades também. Qual é a função que passa pelos pontos <math>(0, \ -n)</math> e <math>(0, \ n) \ ?</math> É <math>(0, \ -n)</math> and <math>(0, \ n) \ ?</math>. Para o vértice da parábola coincidir com a raiz de <math>g_2</math> temos que <math>f_2(g_2(x)) = (x - n)^2</math>. Queremos que tanto a parábola quanto a linha reta tenham a mesma altura igual a zero ali. Esta é uma forma gráfica de entender funções compostas.


==Moving odd or even functions around==
==Deslocando funções pares ou ímpares==


<math>\ \ \ f(x) = f(-x)</math>. Even function.
<math>\ \ \ f(x) = f(-x)</math>. Função par.


<math>-f(x) = f(-x)</math>. Odd function.
<math>-f(x) = f(-x)</math>. Função ímpar.


Both odd and even functions are symmetric, but that fact alone is not what makes them odd or even!
Tanto funções pares quanto ímpares são simétricas, mas não é somente por isto que elas são pares ou ímpares!


An even function remains even if you multiply it by a constant. The same is true for odd functions. Think about it. The constant factor deforms the function, but it does preserve the symmetry in respect to the vertical and horizontal axes.
Uma função par continua par se você multiplicá-la por uma constante. O mesmo vale para funções ímpares. Pense um pouco. O fator de deformação da função é constante, o que preserva a simetria no que diz respeito aos eixos vertical e horizontal.


To move a function up or down may or may not preserve the fact that the function is odd or even. See how the points of the parabola behave as we move the graph up or down. It's easy to see that it remains an even function. On the other hand, the identity function loses the property of being odd if we do that.
Deslocar uma função para cima ou para baixo pode ou não preservar o fato da função ser par ou ímpar. Observe como os pontos da parábola se comportam quando deslocamos o gráfico para cima ou para baixo. É fácil ver que ela permanece uma função par. Por outro lado, a função identidade perde a propriedade de ser ímpar ao fazermos o mesmo.


Moving the function to the right or to the left does preserve the function's symmetry and overall shape, but the function is no longer odd nor even. Think about it. If we move a parabola sideways, we didn't change its shape. However, we messed with its argument. Take two points, <math>a \neq b</math>, such that <math>f(a) = f(b)</math>. After the function is moved sideways, we no longer have <math>|a - 0| = |b - 0|</math>. The same happens with odd functions. That is, the distance between the two arguments is preserved when the function is moved sideways. On the other hand, the distance between each argument and the origin is now different from each other.
Deslocar a função para a direita ou esquerda preserva a simetria e o formato do gráfico, mas a função deixa de ser par ou ímpar. Pense um pouco. Se não deslocarmos a parábola lateralmente, não mudamos o formato do gráfico. Porém, alteramos o argumento. Pegue dois pontos, <math>a \neq b</math>, tal que <math>f(a) = f(b)</math>. Depois da função ser deslocada lateralmente, não temos mais <math>|a - 0| = |b - 0|</math>. O mesmo acontece com funções ímpares. Isto é, a distância entre dois argumentos é preservada quando a função é deslocada lateralmente. Por outro lado, a distância entre cada argumento e a origem deixa de ser uma igual à outra.

Revision as of 17:54, 4 August 2022

Dependendo de como você aprendeu (ou pior ainda, não aprendeu nada!!) funções na escola, os gráficos podem ser um grande desafio a ser superado. Quando resolvemos equações estamos fazendo contas aritméticas básicas e, na maior parte do tempo, sem pensar no gráfico. Unindo a visualização gráfica com operações aritméticas simples conseguimos uma interpretação mais completa dos problemas.

Os livros que eu conheço não trazem muitas explicações a respeito da transladação de funções. Eles somente listam as propriedades, dão exemplos, mas não aprofundam. Eu achei que o conceito de função composta ajudaria a evitar confusões com o sinal de menos em alguns casos.

Em alguns trechos eu menciono a álgebra linear porque tem conceitos da álgebra linear que ajudam a entender o que acontece com funções quando transformamos seus respectivos gráficos com algumas operações. Os professores de cálculo frequentemente mencionam que multiplicar uma função por uma constante é uma "operação ou transformação linear" sem dar maiores explicações. Linear diz respeito à deformação do gráfico ser constante. O gráfico não é "destruído" no sentido de perder o seu formato original, como curvas sendo esticadas ou retas dobradas por exemplo. Não-linear diz respeito a um fator de deformação que não é constante. O gráfico perde a sua forma original, com perda das suas proporções originais.

Transladando o gráfico para cima / baixo



(Sem escala)		 Pegue a função [math]\displaystyle{ f(x) = x^2 }[/math] por exemplo. Queremos que o gráfico suba. Como fazê-lo? Adicionando [math]\displaystyle{ n }[/math] unidades para a função. Adicionar [math]\displaystyle{ n }[/math] unidades significa que, para cada [math]\displaystyle{ x^2 }[/math], queremos isto [math]\displaystyle{ x^2 + n }[/math].

Não alteramos a curvatura do gráfico e nem o contradomínio da função. O que fizemos foi deslocar todos os valores de [math]\displaystyle{ y }[/math] por [math]\displaystyle{ n }[/math] unidades. O que de fato foi alterado é a imagem da função. Para duas variáveis é a mesma ideia.

Troque a adição por subtração e deslocamos o gráfico para baixo.

Refletindo o gráfico na vertical



(Sem escala)		 Se multiplicarmos todo [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] por -1, a função é virada de cabeça para baixo. Os pontos de [math]\displaystyle{ f }[/math] que forem negativos são refletidos para valores positivos e vice-versa. Quando uma função é composta (inserida) num módulo, todo valor negativo de [math]\displaystyle{ f }[/math] é refletido para um positivo. É por isto que os gráficos exibem um comportamento "espelhado" quando há um módulo. Para duas variáveis, multiplicar [math]\displaystyle{ f(x,y) }[/math] por -1 tem o mesmo efeito do caso de uma variável.

Deformando o gráfico



(Sem escala)		 E agora deformando o gráfico? Queremos esticar / comprimir / encolher / alargar o gráfico. Vamos multiplicar a função por [math]\displaystyle{ n }[/math]. Qual a diferença entre [math]\displaystyle{ nf(x) }[/math] e [math]\displaystyle{ f(nx) \ ? }[/math] No primeiro caso estamos fazendo a função crescer mais rápido, [math]\displaystyle{ nf(x) \gt f(x) }[/math] para todo [math]\displaystyle{ n \gt 1 }[/math] e todo [math]\displaystyle{ f(x) \gt 0 }[/math] (cuidado com as condições!). No segundo caso (cuidado com [math]\displaystyle{ nx^2 \neq (nx)^2 }[/math]!) também estamos fazendo a função crescer mais rápido, mas ao mesmo tempo estamos mexendo no argumento.

O que acontece se [math]\displaystyle{ 0 \lt n \lt 1 ? }[/math] Para [math]\displaystyle{ \frac{1}{2}f(x) = \frac{1}{2}(x^2) }[/math] estamos "desacelerando" a velocidade de crescimento da função. Para [math]\displaystyle{ f \left(\frac{1}{2}x \right) = \left(\frac{1}{2}x \right)^2 }[/math] também estamos diminuindo a taxa de crescimento da função. Infelizmente eu não posso mostrar uma animação aqui, mas conforme a constante se aproxima de zero, estamos "achatando" a parábola. Quando o sinal inverte, o gráfico também inverte.

Para duas variáveis podemos deformar o gráfico ao longo de uma variável ou ambas ao mesmo tempo. Porém, multiplicar a função por uma constante irá multiplicar ambas as variáveis simultaneamente neste caso. Lembr-se que [math]\displaystyle{ z }[/math] depende de cada par (x,y)</math>.

Observação: em casos onde [math]\displaystyle{ nf(x) = f(nx) }[/math] for verdade, esta é uma das propriedades de uma transformação linear em álgebra linear. Para duas ou mais variáveis há algo semelhante chamado de função homogênea que não vou discutir aqui.

Reflexão horizontal do gráfico



(Sem escala)		 Quando uma função é par esta operação não faz nada na mesma. É por isto que neste exemplo eu estou usando [math]\displaystyle{ f(x) = x^3 }[/math]. Quando a potência é impar, os parentesis não mudam o sinal. Mas quando a potência é par, aí os parentesis evitam a confusão [math]\displaystyle{ (-x)^2 \neq -x^2 }[/math]. Para evitar a confusão mencionada eu vou usar uma função composta.

[math]\displaystyle{ g(x) = -x }[/math] é uma função que não faz nada além de inverter o sinal de cada número. Cada entrada é multiplicada por -1.

[math]\displaystyle{ f(g(x)) = x^3 }[/math]. É uma cúbica que foi girada | rotacionada ao redor do eixo vertical. Para cada número positivo que entramos com, [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] inverte o seu sinal, depois [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] calcula o cubo do mesmo número. Neste caso específico, inverter a ordem da composição das funções dá no mesmo.

Quando uma função é girada | rotacionada ao redor do eixo vertical, há uma função composta "escondida" que faz a operação de inverter o sinal de cada argumento.

Para duas variáveis é mais complicado. Podemos inverter o sinal de uma das variáveis independentemente da outra ou inverter o sinal de ambas ao mesmo tempo.

Observação: você pode ter notado um fato interessante. Quando pegamos uma função ímpear e a esplhamos, ela continua ímpar. Quando pegamos uma função par e a espelhamos, ela continua par. Graficamente isto é explicado pelo fato de que as funções propriamente já são simétricas em relação a um eixo.

Transladando a função lateralmente

O primeiro modo de explicar isto é bem simples. O que queremos é: para cada passo [math]\displaystyle{ n }[/math] que dermos em [math]\displaystyle{ x }[/math] para a direita, queremos que cada um dos pontos do gráfico se desloque de acordo, sem ir para cima ou para baixo, nem aumentando ou diminuindo a distância entre eles. Suponha que apliquemos [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math]. Calculamos [math]\displaystyle{ f(1), \ f(2), \ f(3), \ ... }[/math]. No eixo horizontal estamos indo para a direita numa taxa constante de 1. Porém, no eixo vertical, cada imagem esta se deslocando para cima porque estamos calculando [math]\displaystyle{ x^2 }[/math]. Ou seja, queremos que [math]\displaystyle{ f(1), \ f(2), \ f(3), \ ... }[/math] se mantenham na mesma altura antes e depois de darmos um passo para a direita. Como "consertamos" isto? Fazendo a operação inversa, subtraindo 1 de cada argumento da função para que assim os pontos da imagem se mantenham nas suas respectivas alturas originais. Em outras palavras [math]\displaystyle{ f(1 - 1), \ f(2 - 2), \ f(3 - 3), \ ... }[/math]. Portanto, para deslocar o gráfico da função para a direita por [math]\displaystyle{ n }[/math] unidades nós mudamos o argumento para [math]\displaystyle{ (x - n) }[/math]. O mesmo raciocínio é aplicado para deslocar a função para a esquerda, agora com um sinal de "+" no lugar de "-".


(gráfico desenhado à mão sem escala)

[math]\displaystyle{ g_2(x) }[/math]. Eu usei um índice para diferenciar a função entre antes e depois da transladação.

A segunda forma de explicar isto envolve taxas de variação e a função composta. Use a função identidade e sobreponha-a com a parábola. Elas se interceptam na origem e em [math]\displaystyle{ n = n^2 = 1 }[/math]. Vê o triângulo retângulo formado pelos pontos de origem, [math]\displaystyle{ f(n) = g(n) }[/math] e [math]\displaystyle{ n \ ? }[/math] Agora desloque as funções para a direita. O triângulo permanece intacto, o que significa que não alteramos a taxa de variação de ambas as funções. A raiz das funções, por outro lado, mudou de [math]\displaystyle{ f(0) = g(0) = 0 }[/math] para uma uma nova posição em [math]\displaystyle{ n }[/math]. Como a taxa de variação da função identidade é constante, temos que [math]\displaystyle{ g(x \pm n) = x \pm n }[/math]. Ao deslocarmos a função identidade para baixo por [math]\displaystyle{ n }[/math] unidades, a sua raiz se desloca para a direita por [math]\displaystyle{ n }[/math] unidades também. Qual é a função que passa pelos pontos [math]\displaystyle{ (0, \ -n) }[/math] e [math]\displaystyle{ (0, \ n) \ ? }[/math] É [math]\displaystyle{ (0, \ -n) }[/math] and [math]\displaystyle{ (0, \ n) \ ? }[/math]. Para o vértice da parábola coincidir com a raiz de [math]\displaystyle{ g_2 }[/math] temos que [math]\displaystyle{ f_2(g_2(x)) = (x - n)^2 }[/math]. Queremos que tanto a parábola quanto a linha reta tenham a mesma altura igual a zero ali. Esta é uma forma gráfica de entender funções compostas.

Deslocando funções pares ou ímpares

[math]\displaystyle{ \ \ \ f(x) = f(-x) }[/math]. Função par.

[math]\displaystyle{ -f(x) = f(-x) }[/math]. Função ímpar.

Tanto funções pares quanto ímpares são simétricas, mas não é somente por isto que elas são pares ou ímpares!

Uma função par continua par se você multiplicá-la por uma constante. O mesmo vale para funções ímpares. Pense um pouco. O fator de deformação da função é constante, o que preserva a simetria no que diz respeito aos eixos vertical e horizontal.

Deslocar uma função para cima ou para baixo pode ou não preservar o fato da função ser par ou ímpar. Observe como os pontos da parábola se comportam quando deslocamos o gráfico para cima ou para baixo. É fácil ver que ela permanece uma função par. Por outro lado, a função identidade perde a propriedade de ser ímpar ao fazermos o mesmo.

Deslocar a função para a direita ou esquerda preserva a simetria e o formato do gráfico, mas a função deixa de ser par ou ímpar. Pense um pouco. Se não deslocarmos a parábola lateralmente, não mudamos o formato do gráfico. Porém, alteramos o argumento. Pegue dois pontos, [math]\displaystyle{ a \neq b }[/math], tal que [math]\displaystyle{ f(a) = f(b) }[/math]. Depois da função ser deslocada lateralmente, não temos mais [math]\displaystyle{ |a - 0| = |b - 0| }[/math]. O mesmo acontece com funções ímpares. Isto é, a distância entre dois argumentos é preservada quando a função é deslocada lateralmente. Por outro lado, a distância entre cada argumento e a origem deixa de ser uma igual à outra.

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