Derivadas das funções trigonométricas

As derivadas das funções trigonométricas são todas relacionadas à identidades trigonométricas. Vamos traçar o seno, cosseno e a tangente num mesmo espaço:

Tanto o seno quanto a tangente trocam o sinal das suas respectivas taxas de variação quando a função é zero. O ponto onde o seno é máximo é o ponto onde o cosseno é zero. O contrário também é verdade, onde o cosseno é máximo é onde o seno é zero. O ponto onde o cosseno e o seno se cruzam corresponde ao ângulo [math]\displaystyle{ \pi / 4 }[/math] no ciclo trigonométrico. O ponto onde a tangente e o cosseno se cruzam corresponde ao ângulo [math]\displaystyle{ 3 \pi / 4 }[/math].

Seno e cosseno são funções idênticas com a exceção das suas raízes que diferem por um ângulo de [math]\displaystyle{ \pi / 2 }[/math]. Temos que [math]\displaystyle{ \sen(x + \pi / 2) = \cos(x) }[/math] e [math]\displaystyle{ cos(x - \pi / 2) = \sen(x) }[/math]. O fato de ambas as funções poderem ser uma sobreposta à outra é o que precisamos para provar que o cosseno é a derivada do seno.

[math]\displaystyle{ \lim_{h \ \to \ 0} \sen(x) = \frac{\sen(x + h) - \sen(x)}{h} }[/math]

Mais de uma identidade trigonométrica pode ajudar aqui. Eu vou usar a identidade que expressa a diferença de senos como um produto de senos e cossenos. A ideia é que o seno e o cosseno "desaparecem" em certos ângulos, porque acabamos multiplicando pelo zero ou por um dependendo do ângulo:

[math]\displaystyle{ = \frac{2 \sen \left(\frac{h}{2}\right) \cos \left(\frac{2x + h}{2}\right)}{h} }[/math] (o limite do produto é o produto dos limites)

[math]\displaystyle{ = 2 \lim_{h \ \to \ 0} \frac{\sen(h/2)}{h/2} \lim_{h \ \to \ 0} \cos \left(\frac{2x + h}{2}\right) \frac{1}{2} }[/math] (podemos mover a constante para fora do limite e multiplicar o limite pelo inverso da constante para manter o mesmo resultado)

[math]\displaystyle{ = 2 \frac{1}{2} \cos(x) }[/math] (a identidade trigonométrica fundamental é igual a um)

Observação: alguém pode ter perguntado sobre a derivada do produto não ser o produto das derivadas. O que ocorreu no começo foi que começamos sim com uma derivada, mas o seno foi reescrito como um produto de seno por cosseno. Não estávamos querendo calcular a derivada do produto. Foi apenas uma substituição.

Para a prova de [math]\displaystyle{ \cos'(x) = -\sen(x) }[/math] a ideia é a mesma. Começamos com um limite e temos que usar alguma identidade trigonométrica para alcançar o resultado.

Para a prova de [math]\displaystyle{ \tan'(x) = \sec^2(x) }[/math] podemos usar [math]\displaystyle{ \tan(x) = \frac{\sen(x)}{\cos(x)} }[/math] e prosseguir daí.

Todas as demonstrações não são nada além de manipulações algébricas originárias do ciclo trigonométrico.

Links para as demonstrações (em inglês)

• https://www.dicasdecalculo.com.br/demonstracao-da-derivada-da-funcao-seno/
• https://sabermatematica.com.br/derivada-da-funcao-seno-demonstracao.html
• https://www.obaricentrodamente.com/2009/07/demonstracao-da-derivada-da-funcao-seno.html
• https://pt.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-differentiation-1-new/ab-2-7/a/proving-the-derivatives-of-sinx-and-cosx