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| Para verificar se um dado conjunto é ou não um espaço vetorial o procedimento é verificar todas as propriedades uma por uma. Mas, caso não seja um espaço vetorial, a simples verificação do axioma que não vale já é suficiente para a resposta de um exercício. O que muda de um exercício para outro é a definição do conjunto e das operações. | | Para verificar se um dado conjunto é ou não um espaço vetorial o procedimento é verificar todas as propriedades uma por uma. Mas, caso não seja um espaço vetorial, a simples verificação do axioma que não vale já é suficiente para a resposta de um exercício. O que muda de um exercício para outro é a definição do conjunto e das operações. |
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| '''1.''' O conjunto dos números reais é um espaço vetorial? É praticamente imediato verificar que sim a partir da simples observação dos axiomas que definem um espaço vetorial. Os números reais podem ser considerados vetores de uma coordenada só.
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| O conjunto das matrizes com coeficientes reais <math> m \text{ } \times \text{ } n </math> é um espaço vetorial? A verificação é praticamente igual à dos vetores, apenas muda-se a notação de vetor para a notação de matriz.
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| O conjunto dos números complexos é um espaço vetorial? Todo número complexo tem a forma <math> a + bi </math> e pode ser visualizado no plano complexo como um par ordenado <math> (a, bi) </math>. Desta forma a verificação é análoga à dos vetores em <math> \mathbb{R}^2 </math>.
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| '''2.''' Seja <math> S = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : x + y + z = 0\} </math> um plano do <math> \mathbb{R}^3 </math> passando pela origem. Mostre que ''S'' é um espaço vetorial sobre <math> \mathbb{R} </math> com as operações usuais definidas em <math> \mathbb{R}^3 </math>.
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| A verificação dos 8 axiomas é idêntica às demonstrações vistas em [[Propriedades algébricas dos vetores]]. Apenas muda-se de <math> \mathbb{R}^n </math> para <math> \mathbb{R}^3 </math>.
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| <u>Uma pergunta natural:</u> se o plano não passar pela origem, ele é um espaço vetorial? Suponha <math> S = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : x + y + z = 1\} </math>, um plano paralelo ao anterior, mas deslocado de uma unidade. É fácil verificar que <math> (0,0,0) \notin S </math>, sendo assim o espaço dado não obedece a um axioma e não é um espaço vetorial.
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| '''3.''' No conjunto <math> V = \{(x,y) \text{ } | \text{ } x,y \in \mathbb{R}\} </math> a "adição" é definida assim <math> (x_1,x_2) + (y_1,y_2) = (x_1 + x_2,0) </math> e a multiplicação por escalares no <math> \mathbb{R}^2 </math> é a usual, ou seja, <math> \alpha(x,y) = (\alpha x,\alpha y) </math> para todo <math> \alpha \in \mathbb{R} </math>. Nessas condições, V é um espaço vetorial sobre <math> \mathbb{R} </math> ?
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| É fácil verificar que <math> (x,y) + (0,0) \neq (x,y) </math> <math> \forall y \neq 0 </math>. ''Atenção! Não faça a soma usual, faça a soma como esta definida para este conjunto!''
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| Observe que a soma definida é associativa, é comutativa e o elemento oposto também é válido.
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| Façamos uma alteração no conjunto, a soma passa a ser a usual mas a multiplicação por escalar passa a ser definida como <math> \alpha(x,y) = (\alpha x, 0) </math>. Nessas condições, V é um espaço vetorial? É fácil verificar que <math> 1(x,y) \neq (x,y) </math> com a nova definição. As demais propriedades, associativa, distributiva por escalar e por vetor continuarão válidas.
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| '''4.''' Suponha definidas em <math> V = \{(a,b) \in \mathbb{R}^2 : a,b > 0\} </math> as operações
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| <math>\begin{align*}
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| (a,b) \oplus (c,d) = & (ac,bd) \text{ } \forall(a,b),(c,d) \in V \\
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| \alpha(a,b) = & (a^{\alpha},b^{\alpha} \text{ } \forall \alpha \mathbb{R}, \text{ } \forall(a,b) \in V
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| \end{align*}
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| </math>
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| Prove que V, munido dessas operações é um espaço vetorial.
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| Escolha dois elementos arbitrários do conjunto <math> u = (x,y) </math> e <math> v = (a,b) </math>. Calcule <math> u \oplus v </math> e veja que a operação é comutativa pois a multiplicação de números reais é comutativa. Utilize o mesmo procedimento, agora com três elementos, para verificar que a operação dada também é associativa.
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| <math> (x,y) \oplus (f,g) = (x,y) </math>. Neste conjunto, o elemento neutro da soma não é <math> (f,g) = (0,0) </math>. Como a soma esta definida como uma multiplicação de coordenadas correspondentes, quem é o elemento neutro da multiplicação de números reais? Calcule e verifique.
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| <math> (x,y) \oplus (o,p) = (f,g) </math>. Neste conjunto, o elemento oposto não é <math> -(x,y) </math>. Perceba que como o elemento neutro na parte anterior não é o <math> (0,0) </math>, é obrigatório primeiro verificar o elemento neutro para depois verificar o elemento oposto. Se a operação multiplica coordenadas correspondentes, quem é <math> (o,p) </math> tal que <math> (xo,yp) = (f,g) </math> ? Note que a definição do conjunto é muito precisa, caso <math> a,b = 0 </math> ocorreria uma operação indefinida nos números reais.
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| <math> (\alpha + \beta)u = \alpha u \oplus \beta u </math>. A verificação desta propriedade envolve ambas as operações não usuais definidas para o conjunto. A multiplicação por escalar envolverá as propriedades de potenciação dos números reais: base comum e soma de expoentes. Apenas atente-se ao fato de tanto a soma como a multiplicação por escalar não são as usuais, não misture em nenhuma etapa com as definições usuais. ''Cuidado! A soma de escalares é a usual, não definida como esta para vetores.''
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| A propriedade associativa da multiplicação não deve trazer maiores problemas na verificação. A operação <math> \alpha( u \oplus v) </math> também não deve trazer problemas, apenas, repetindo, atendo-se ao fato de que a soma e a multiplicação não são as usuais.
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| '''5.''' Seja <math> \large{\mathscr{F}} </math> o conjunto de todas as funções de valores reais, ele é um espaço vetorial?
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| A soma de funções é feita calculando-se o valor da função num ponto e somando esse valor: <math> (f + g)(x) = f(x) + g(x) </math>. É fácil verificar que a soma é associativa e comutativa.
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| A multiplicação de uma função por um escalar é feita multiplicando-se o valor da função naquele ponto: <math> (cf)(x) = cf(x) </math>. É fácil verificar que a multiplicação é associativa e distributiva.
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| O elemento oposto é a função tal, que a cada ponto associa o valor oposto ao da função anterior: <math> (-f)(x)= -f(x) </math>. ''Cuidado para não confundir com a função inversa!''
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| O elemento neutro da adição é a função tal, que a cada ponto associa o valor zero: <math> f(x) = 0 </math> ou <math> f \equiv 0 </math> (leia-se: função identicamente nula). ''Cuidado para não confundir com <math> f(0) </math> !''
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| Portanto, o conjunto de todas as funções da reta na reta é um espaço vetorial. Não importa quais sejam as funções e suas características, subconjuntos das funções de valores reais tambem podem ser espaços vetoriais. Uma maneira geométrica de interpretar este resultado é pensar que todos os pontos de todas as funções possuem coordenadas únicas no espaço. Portanto, adotando-se a origem do sistema de coordenadas como ponto origem e um ponto qualquer da função como extremidade, temos um vetor e as operações usuais com vetores.
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Os espaços vetoriais são o tema central da álgebra linear. Um espaço vetorial é um certo conjunto onde existem elementos e entre eles podemos realizar certas operações. Em geometria analítica, o conjunto de vetores com as propriedades algébricas (Propriedades algébricas dos vetores) válidas é um exemplo de um espaço vetorial. Numa analogia, pense num espaço vetorial como um jogo onde existem jogadores e regras. Caso um dos axiomas não seja válido e/ou o conjunto não tenha elementos, então temos um exemplo do que não é um espaço vetorial.
Observação: os espaços vetoriais também podem ser definidos com números complexos, mas num curso introdutório fica-se apenas com os números reais mesmo.
Uma questão de terminologia: a palavra espaço no cotidiano remete à qualquer espaço. Em geral se trata de um espaço tridimensional e quase sempre é sinônimo de área ou volume. Assim temos espaço para festas, para carros, para pedestres, num armário, etc. Mas em matemática a definição de espaço é abstrata, é mais próxima da definição de um conjunto ou grupo. Temos muitos elementos que obedecem à critérios que satisfazem à definição de um espaço vetorial. O conjunto de todos esses elementos é o espaço vetorial.
Definição: Dado um conjunto V não vazio, ele é um espaço vetorial sobre os reais quando, e somente quando:
| [math]\displaystyle{ \forall u,v,w \in E }[/math],
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[math]\displaystyle{ (u + v) + w = u + (v + w) }[/math];
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| [math]\displaystyle{ \forall u,v \in E }[/math],
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[math]\displaystyle{ u + v = v + u }[/math];
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| [math]\displaystyle{ \exists \text{ } 0 \in E }[/math] tal que, [math]\displaystyle{ \forall u \in E }[/math],
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[math]\displaystyle{ u + 0 = u }[/math];
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| [math]\displaystyle{ \forall u \in E, \exists \text{ } (-u) \in E }[/math] tal que,
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[math]\displaystyle{ u + (-u) = 0 }[/math];
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| [math]\displaystyle{ \forall \alpha \in \mathbb{R}, \forall u,v \in E }[/math],
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[math]\displaystyle{ \alpha(u + v) = \alpha u + \alpha v }[/math];
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| [math]\displaystyle{ \forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}, \forall u \in E }[/math],
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[math]\displaystyle{ (\alpha + \beta)u = \alpha u + \beta u }[/math];
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| [math]\displaystyle{ \forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}, \forall u \in E }[/math],
|
[math]\displaystyle{ \alpha(\beta u) = (\alpha \beta)u }[/math];
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| [math]\displaystyle{ \forall u \in E }[/math],
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[math]\displaystyle{ 1u = u }[/math].
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Para verificar se um dado conjunto é ou não um espaço vetorial o procedimento é verificar todas as propriedades uma por uma. Mas, caso não seja um espaço vetorial, a simples verificação do axioma que não vale já é suficiente para a resposta de um exercício. O que muda de um exercício para outro é a definição do conjunto e das operações.
