Dimensão

Informalmente, a dimensão de um espaço é atrelada à visualização geométrica. Assim um espaço de três dimensões tem três eixos e é determinado por três vetores de três coordenadas cada. Porém, para n dimensões é preciso de uma definição que não seja limitada pela visualização geométrica de até três dimensões. Um exemplo: suponha um vetor de quatro coordenadas em [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^4 }[/math]. Um vetor determina uma reta e uma reta tem uma dimensão. Intuitivamente poderia se pensar que é o número de coordenadas que dá a dimensão, que no caso seriam quatro, mas é o número de vetores que determina a dimensão do subespaço (a reta). Assim, o espaço tridimensional tem três dimensões por ser determinado por três vetores e não por vetores que tenham três coordenadas cada. Um outro exemplo: polinômios tem grau, mas o grau não é a própria dimensão! Como um polinômio de grau n tem n + 1 termos, a dimensão é n + 1.

Um exemplo prático que pode ajudar a esclarecer a confusão entre quantidade de coordenadas e dimensão: quando pensamos num plano pensamos em qualquer superfície plana. Uma folha de papel, uma parede, o chão, etc. Quando temos um plano em três dimensões, o plano continua sendo um plano. O que a terceira dimensão permite é girar o plano no espaço tridimensional. Se eu desenhar um quadrado numa folha de papel, posso girar o papel no espaço que o quadrado continua sendo uma figura bidimensional contida no plano do papel. O papel está contido num espaço tridimensional e pode girar livremente, mas não é por isso que se transforma numa figura tridimensional como um cubo por exemplo. Desprezamos a espessura do papel e consideramos que ele não tem volume para fins do exemplo. No papel temos as orientações norte e sul, leste e oeste, que correspondem a um par de vetores diretores. Cada um, no espaço tridimensional, tem três coordenadas.

Teorema da invariância: Seja V um espaço vetorial finitamente gerado. Então duas bases quaisquer de V tem o mesmo número de vetores.

Exemplo: pense em [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^3 }[/math]. Precisamos de triplas de vetores para gerar todo o espaço. Existem infinitas combinações possíveis de triplas de vetores que servem como conjunto gerador.

Dimensão: Seja V um espaço vetorial finitamente gerado. Denomina-se dimensão de V (notação: dim V) o número de vetores de uma qualquer de suas bases. Diz-se também, neste caso, que V é um espaço de dimensão finita.

Espaços vetoriais de dimensão infinita não são estudados em álgebra linear introdutória.