Resolução de sistemas linares

Método da substituição

[math]\displaystyle{ \begin{cases} x & + & y & + & z & = & 1 \\ x & - & y & + & 3z & = & 2 \\ 2x & + & 4y & - & z & = & 0 \\ \end{cases} }[/math]

Isolando x na primeira equação e substituindo nas outras duas:

[math]\displaystyle{ \begin{cases} -y & - & z & + & 1 & - & y & + & 3z & = & 2 \\ 2(-y & - & z & + & 1) & + & 4y & - & z & = & 0 \end{cases} }[/math]

Isolando y e substituindo na equação restante:

[math]\displaystyle{ \begin{align*} y = & z - \frac{1}{2} \\ \\ 2y - 3z = & -2 \\ 2z - 1 - 3z = & -2 \\ z = & 1 \end{align*} }[/math]

Substituindo na equação anterior:

[math]\displaystyle{ \begin{align*} y & = 1 - \frac{1}{2} \\ y & = \frac{1}{2} \end{align*} }[/math]

Substituindo na primeira equação:

[math]\displaystyle{ \begin{align*} x + \frac{1}{2} + 1 & = 1 \\ x & = -\frac{1}{2} \end{align*} }[/math]

A solução é um ponto [math]\displaystyle{ \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1\right) }[/math]

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Método da eliminação gaussiana ou do escalonamento

O método consiste em aplicar operações elementares para simplificar o sistema até encontrar o valor das incógnitas. As operações permitidas são trocar equações de posição, multiplicar uma equação por uma constante e substituir uma equação pela sua soma com outra equação. A ordem das operações não importa. O objetivo é chegar numa forma triangular como se segue:

[math]\displaystyle{ \begin{cases} x & + & y & + & z & = & 1 \\ x & - & y & + & 3z & = & 2 \\ 2x & + & 4y & - & z & = & 0 \\ \end{cases} }[/math]

Trocando a primeira equação com a terceira:

[math]\displaystyle{ \begin{cases} 2x & + & 4y & - & z & = & 0 \\ x & - & y & + & 3z & = & 2 \\ x & + & y & + & z & = & 1 \\ \end{cases} }[/math]

Multiplicando a segunda e a terceira por -2 e somando-as com a primeira:

[math]\displaystyle{ \begin{cases} 2x & + & 4y & - & z & = & 0 \\ & & 6y & - & 7z & = & -4 \\ & & 2y & - & 3z & = & -2 \\ \end{cases} }[/math]

Multiplicando a terceira por -3 e somando com a segunda:

[math]\displaystyle{ \begin{cases} 2x & + & 4y & - & z & = & 0 \\ & & 6y & - & 7z & = & -4 \\ & & & & 2z & = & 2 \\ \end{cases} }[/math]

A partir daqui existem duas opções: a primeira é usar o método da substituição, de baixo pra cima e resolver o sistema; a segunda é continuar eliminando incógnitas nas equações restantes. Usando o segundo método:

Multiplicando a terceira por [math]\displaystyle{ \frac{7}{2} }[/math] e somando com a segunda:

[math]\displaystyle{ \begin{cases} 2x & + & 4y & - & z & = & 0 \\ & & 6y & & & = & 3 \\ & & & & z & = & 1 \\ \end{cases} }[/math]

Multiplicando a segunda por [math]\displaystyle{ -\frac{2}{3} }[/math] e somando a segunda e a terceira com a primeira:

[math]\displaystyle{ \begin{cases} 2x & & & & & = & -1 \\ \\ & & y & & & = & \frac{1}{2} \\ \\ & & & & z & = & 1 \\ \end{cases} }[/math]

O mesmo método pode ser feito com uma matriz, assim:

[math]\displaystyle{ \left[\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & | & 1 \\ 1 & -1 & 3 & | & 2 \\ 2 & 4 & -1 & | & 0 \end{matrix}\right] }[/math]

Com as mesmas operações elementares o objetivo é chegar em:

[math]\displaystyle{ \left[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & | & -\frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 & | & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & | & 1 \end{matrix}\right] }[/math]

A matriz com os coeficientes das incógnitas e os termos constantes é chamada de matriz aumentada. Da esquerda para a direita, o primeiro elemento não nulo da linha é chamado de pivô ou líder (quando o líder for o número 1 não elimine-o, deixe como esta). Na coluna mais a direita temos os valores das incógnitas. Cada linha representa uma equação do sistema e cada coluna uma incógnita. Quando todos os números abaixo de cada pivô são zeros a matriz esta na forma escalonada. Quando todos os números abaixo e acima de cada pivô são zeros a matriz esta na forma escalonada reduzida por linhas. Note que se o líder de uma linha esta na coluna 2, o líder da linha de baixo não necessariamente esta na coluna 3, pode estar na 4 por exemplo.

Nota: se no escalonamento aparecer uma linha onde o termo constante não é nulo e os coeficientes das incógnitas são todos nulos, significa que temos uma equação do tipo [math]\displaystyle{ 0x = * }[/math], que indica que o sistema não tem solução.

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Variáveis livres ou parâmetros

[math]\displaystyle{ \begin{cases} x & + & y & + & z & = & 1 \\ x & - & y & + & 2z & = & 0 \end{cases} }[/math]

Somando ambas as equações:

[math]\displaystyle{ \begin{align*} 2x + 3z & = 1 \\ x & = \frac{1 - 3z}{2} \end{align*} }[/math]

Multiplicando a primeira por -1 e somando com a segunda:

[math]\displaystyle{ \begin{align*} -2y + z & = -1 \\ y & = \frac{1 + z}{2} \end{align*} }[/math]

Como temos y e x em função de z, z é variável livre. Ou, em outra linguagem, x e y são variáveis dependentes e z é variável independente. Podemos atribuir a z um valor arbitrário, então [math]\displaystyle{ z = t }[/math] com [math]\displaystyle{ t \in \mathbb{R} }[/math] (qualquer letra serve). De modo que o conjunto solução é [math]\displaystyle{ \left(\frac{1 - 3t}{2},\frac{1 + t}{2},t\right) }[/math]. Podemos expressar a mesma resposta numa forma vetorial:

[math]\displaystyle{ \left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0\right) + \left(-\frac{3t}{2},\frac{t}{2},t\right) = \left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0\right) + t\left(-\frac{3}{2},\frac{1}{2},1\right) }[/math].

Identificando variáveis livres na matriz escalonada:

[math]\displaystyle{ \left[\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & | & 1 \\ 1 &-1 & 2 & | & 0 \end{matrix}\right] \thicksim -L_2 + L_1 \left[\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & | & 1 \\ 0 & 2 & -1 & | & 1 \end{matrix}\right] }[/math]

Como x e y são pivôs, z que não é pivô é variável livre.

Nota: subtraindo o número de equações linearmente independentes do número de incógnitas obtemos a quantidade de variáveis livres.

• Determine os valores de w com os quais o sistema não tem solução, tem exatamente uma solução ou tem uma infinidade de soluções

[math]\displaystyle{ \begin{cases} x & + & y & + & 7z & = & -7 \\ 2x & + & 3y & + & 17z & = & -16 \\ x & + & 2y & + & (w^2 + 1)z & = & 3w \end{cases} }[/math]

Vamos escrever a matriz aumentada do sistema:

[math]\displaystyle{ \left[\begin{matrix} 1 & 1 & 7 & | & -7 \\ 2 & 3 & 17 & | & -16 \\ 1 & 2 & w^2 + 1 & | & 3w \end{matrix}\right] }[/math]

A estratégia é anular as incógnitas x e y da linha que contem a variável w, assim podemos estudar as soluções do sistema em função dos valores de w:

[math]\displaystyle{ \left[\begin{matrix} 1 & 1 & 7 & | & -7 \\ 2 & 3 & 17 & | & -16 \\ 1 & 2 & w^2 + 1 & | & 3w \end{matrix}\right] \thicksim L_2 - L_1 \left[\begin{matrix} 1 & 1 & 7 & | & -7 \\ 1 & 2 & 10 & | & -9 \\ 1 & 2 & w^2 + 1 & | & 3w \end{matrix}\right] \thicksim L_3 - L_2 \left[\begin{matrix} 1 & 1 & 7 & | & -7 \\ 1 & 2 & 10 & | & -9 \\ 0 & 0 & w^2 -9 & | & 3w + 9 \end{matrix}\right] }[/math]

Temos na última linha uma equação do tipo [math]\displaystyle{ ax = b }[/math]. Se [math]\displaystyle{ a \ne 0 }[/math] e [math]\displaystyle{ b \ne 0 }[/math] temos que o valor da incógnita fica determinado e portanto, o sistema terá solução única. Se [math]\displaystyle{ a = b = 0 }[/math] qualquer valor da incógnita resolverá a equação e portanto, teremos infinitas soluções. Outra forma de ver isso é que se a última linha for anulada, sobram duas equações de três incógnitas cada. Por último, se [math]\displaystyle{ a = 0 }[/math] e [math]\displaystyle{ b \ne 0 }[/math] não existe valor da incógnita que satisfaça a igualdade e portanto, o sistema será impossível.

As raizes de [math]\displaystyle{ w^2 - 9 = 0 }[/math] são 3 ou -3. Se [math]\displaystyle{ w = -3 }[/math] a linha se anula e são infinitas soluções. Se [math]\displaystyle{ w = 3 }[/math] caímos numa equação do tipo [math]\displaystyle{ 0x = * }[/math], então o sistema não tem solução. Se [math]\displaystyle{ w \ne 3 }[/math] e [math]\displaystyle{ w \ne -3 }[/math] o sistema terá só uma solução.

• Encontre (se possível) condições sobre os números a, b e c para que o sistema dado tenha nenhuma solução, uma única solução, ou infinitas soluções

[math]\displaystyle{ \begin{cases} 2x & - & 3y & - & 3z & = & a \\ -x & + & y & + & 2z & = & b \\ x & - & 3y & & & = & c \end{cases} }[/math]

Escalonando o sistema:

[math]\displaystyle{ \left[\begin{matrix} 2 & -3 & -3 & | & a \\ -1 & 1 & 2 & | & b \\ 1 & -3 & 0 & | & c \\ \end{matrix}\right] \thicksim 2L_2 + L_1 \left[\begin{matrix} 2 & -3 & -3 & | & a \\ 0 & -1 & 1 & | & 2b + a\\ 1 & -3 & 0 & | & c \\ \end{matrix}\right] \thicksim 3L_2 + L_1 \left[\begin{matrix} 2 & -3 & -3 & | & a \\ 2 & -6 & 0 & | & 6b + 2a\\ 1 & -3 & 0 & | & c \\ \end{matrix}\right] }[/math]

[math]\displaystyle{ \thicksim -2L_3 + L_2 \left[\begin{matrix} 2 & -3 & -3 & | & a \\ 2 & -6 & 0 & | & 6b + 4a\\ 0 & 0 & 0 & | & 6b + 4a - 2c \\ \end{matrix}\right] }[/math]

A estratégia é olhar a última linha, pois é a partir dela que vemos se o sistema tem ou não solução. Se [math]\displaystyle{ 6b + 4a - 2c \ne 0 }[/math] o sistema é impossível. Se [math]\displaystyle{ 6b + 4a - 2c = 0 }[/math] o sistema tem infinitas soluções. Como uma linha foi zerada não é possível o sistema ter solução única.

• Suponha que um sistema homogêneo tenha 4 equações e 6 incógnitas e seja A a sua matriz completa. Pode o sistema ter uma única solução? Nenhuma solução? Quantos parâmetros o sistema pode ter, se um linha é multiplo de uma outra linha? Quantos parâmetros o sistema pode ter se posto(A) = 4? Se posto(A) = 2?

Como são mais incógnitas do que equações são infinitas soluções. Se uma linha é múltiplo de outra sobram 3 equações. Como são 6 incógnitas, são 3 parâmetros.

Posto é o número de linhas não nulas da matriz, ou o número de equações linearmente independentes. Se posto(A) = 4 são 2 parâmetros. Se posto(A) = 2 são 4 parâmetros.

• Seja [math]\displaystyle{ A \in M_{m,n}(\mathbb{R}) }[/math]. Considere o sistema não-homogêneo AX = B e o sistema homogêneo associado AX = 0. Prove ou dê contra-exemplo.

1. Se AX = B tem infinitas soluções, então AX = 0 tem infinitas soluções;
2. Se AX = 0 tem infinitas soluções, então AX = B tem infinitas soluções;
3. Se AX = B não tem solução, então AX = 0 só tem a solução trivial;
4. Se AX = 0 só tem a solução trivial, então AX = B tem solução única.

1. Sejam X e X' duas soluções arbitrárias de AX = B:

[math]\displaystyle{ \begin{align*} AX = B \\ AX' = B \end{align*} }[/math]

[math]\displaystyle{ \begin{align*} AX - AX' & = B - B \\ A(X - X') & = 0 \end{align*} }[/math]

X - X' é solução de AX = 0. Então é verdade que AX = 0 possui infinitas soluções.

2.

[math]\displaystyle{ \left(\begin{matrix} a & b \\ 0 & 0 \end{matrix}\right)x = \left(\begin{matrix} c \\ d \end{matrix}\right) }[/math]

Se a = b = c = d = 0 temos que 0X = 0 possui infinitas soluções. Mas se d ≠ 0 o sistema não tem solução.

3. Pelo exemplo anterior, AX = B não tem solução, mas AX = 0 tem infinitas soluções.

4. A prova é por um argumento lógico. Vamos usar a contrapositiva.

Se AX = 0 não tem apenas a solução trivial, então AX = B não tem solução única. Isso significa que se AX = 0 tem infinitas soluções existem duas possibilidades para AX = B: ou AX = B não tem solução ou tem infinitas. Portanto a afirmação é falsa.

Se