Erros cometidos com gráficos

• Funções crescentes, decrescentes e constantes. Primeiro, para idiomas que são escritos da direita para a esquerda, esta pode ser uma fonte de confusão. A outra confusão diz respeito à leitura do próprio gráfico. Pode acontecer de algumas pessoas pensarem que "positividade" se associa com funções crescentes e "negatividade" com funções decrescentes. Enquanto "nulo" seria constante. Uma outra fonte de confusões é a concavidade. Às vezes as pessoas associam "concavidade para cima" com ser crescente e "concavidade para baixo" com ser decrescente. É especulação minha, mas imagino que pode acontecer até mesmo a associação entre uma rampa e a aceleração com crescente ou decrescente por causa da interpretação física.
  
  Eu penso que estas confusões ocorrem devido à forma com que os professores ensinam sobre funções. Uma função é crescente num certo intervalo não porque todos os valores de [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] naquele intervalo são positivos, mas porque a sua taxa de variação é positiva. Uma função é decrescente num certo intervalo porque a sua taxa de variação é negativa, não porque os valores de [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] se localizam na faixa negativa do eixo vertical. Por último, uma função constante não varia, a taxa de variação não muda. Não é literalmente [math]\displaystyle{ f(x) = 0 }[/math].
  
  Podemos dizer que uma função é crescente, decrescente ou constante num ponto? Esta pergunta é conceitualmente imprecisa. Uma função é crescente ou decrescente num certo intervalo, uma sequência de pontos. Sem um intervalo não há como falar em taxa de variação para começo de conversa.

• Suponha que o gráfico de uma função mostra que [math]\displaystyle{ f(b) \gt f(a) }[/math] com [math]\displaystyle{ b \gt a }[/math]. Não podemos concluir que a função é crescente de [math]\displaystyle{ a }[/math] até [math]\displaystyle{ b }[/math]. O gráfico pode ter pontos onde ele muda de crescente para decrescente e vice-versa. Pela mesma razão, [math]\displaystyle{ f(b) \lt f(a) }[/math] não garante que a função é sempre decrescente naquele intervalo.

• Há um erro muito comum que mostra calaramente que as pessoas não entendem o conceito de função. Suponha que um problema descreva algo como o crescimento populacional, a variação da temperatura com o tempo ou o brilho de uma luz em relação à potência elétrica. O problema fornece um gráfico, o que nos livra de ter que coletar dados e traçar um gráfico. A pergunta do exercício é: começando às 2 horas, depois de 1 hora, qual vai ser a temperatura? Para um brilho de x unidades, qual a potência elétrica? Qual deve ser a população no ano x? A incapacidade de responder estas perguntas quando todas as informações são dadas mostra que a pessoa realmente não entende o gráfico da função. Um ponto curioso é que às vezes a pessoa não entende o gráfico mas sabe fazer as contas e resolvar a equação.

• Ler o gráfico de funções de uma variável é bastante fácil. Mesmo assim, de tempos em tempos, algumas pessoas confundem [math]\displaystyle{ x }[/math] com [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]. Isto é especialmente problemático na física. Suponha que temos uma função que mostra Velocidade x Tempo. Não é incomum uma pessoa ler o gráfico confundindo o tempo com a velocidade, interpretando erroneamente o gráfico quando perguntado sobre a velocidade ou o tempo. Quando aprendemos sobre derivadas e integrais fica ainda pior! Não é incomum uma pessoa confundir o gráfico de cada um porque não estamos mais falando de uma função, mas três funções e três gráficos (a função, a sua derivada e a integral).

• O outro erro comum é confundir a posição ou a trajetória com a velocidade ou a aceleração. Suponha que uma função seja uma linha reta que começa num certo instante de tempo e v(t) = -10 m/s. Algum tempo depois temos v(t) = 10 m/s. Primeiro, quem disse que a trajetória é uma linha reta? O gráfico é Velocidade x Tempo. Segundo, velocidade é um vector, o sinal indica a direção, não a magnitude. Terceiro, integrando v(t) obtém-se x(t) e o gráfico deve ser uma parábola. Porém, quem disse que x(t) é o gráfico de uma trajetória? O movimento em si não é uma parábola! É a distância a partir da origem que se comporta como uma parábola.

• Trajetórias x curvas planas x gráfico de funções. Não é incomum as pessoas confundirem equações de linhas ou planos com funções de duas ou três variáveis.
  
  Suponha que uma pessoa esta correndo em círculos no plano Cartesiano. O círculo é descrito por uma equação desta forma: [math]\displaystyle{ 4 = x^2 + y^2 }[/math]. No exemplo temos um círculo de raio 2 centrado na origem (0,0). Mais tarde aprendemos sobre funções duas variáveis e a equação anterior pode ser vista como uma curva de nível. Isto [math]\displaystyle{ f(x,y) = x^2 + y^2 - 4 }[/math], é uma função de duas variáveis, não a equação de um círculo!
  
  Cuidado com [math]\displaystyle{ y = x }[/math] e [math]\displaystyle{ y = f(x) }[/math]. O primeiro pode significar duas coisas: que dois números são iguais ou a equação de uma reta, tal que em todos os seus pontos as coordenadas x e y são iguais. O segundo é uma forma de dizer "a coordenada vertical de cada ponto do gráfico da função é dada por uma fórmula que calcula o valor da função para cada [math]\displaystyle{ x }[/math]".
  
  Para evitar a confusão entre o plano cartesiano da geometria analítica e o plano cartesiano das funções eu diria o seguinte: na geometria analítica temos as variáveis X e Y independentes, podemos escolher livremente as coordenadas porque uma não depende da outra. É por isto que podemos traçar círculos na geometria analítica. Já no caso de uma função uma variável depende da outra, no eixo vertical os valores sempre dependem dos valores do eixo horizontal. É por isto que as funções só podem crescer, decrescer ou permanecerem constantes. Só podemos ir para frente ou para trás. Cada mudança no valor de [math]\displaystyle{ x }[/math] implica numa mudança do valor de [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]. O que deixa os valores de [math]\displaystyle{ x }[/math] e [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] tão fortemente atrelados? É a própria função!

• Gráfico vs função. O gráfico de uma função é a própria função? Não exatamente. A função é um conceito, não um desenho! O gráfico serve para visualizar a função e assim permitir a identificação de padrões. O que pode coincidir é que alguns objetos no mundo ou formas podem se assemelhar com o formato do gráfico de uma função. Trajetórias por exemplo. Uma linha reta é apenas isto, uma linha reta. Agora uma função linear, o gráfico é uma linha reta. A linha em si não é uma função. Frequentemente usamos gráfico e função sem distinção, mas é bom saber as diferenças entre um e outro.

• This mistake arises from the fact that when we first learn about modulus, we don't know what a function is yet. Many teachers and books say that "modulus erases the minus sign" of a number. It's better to say that the modulus is a function, because modulus is really a piecewise function. So we have that [math]\displaystyle{ |2| = |-2| }[/math]. That definition "modulus is an operation that removes the minus sign" can lead us to think that "minus two is equal to two". When the correct way to read it is "The modulus of minus two is equal to the modulus of two". A very subtle difference! Nobody sees the expression [math]\displaystyle{ -2 = 2 }[/math] as true because it isn't. However, the consequence of misreading the modulus is wrongly plotting graphs of functions. Suppose that we have this function [math]\displaystyle{ f(x) = |x| }[/math]. When we think that "minus two is equal to two" we can, inadvertently, plot 2 and -2 at the same position. What is equal there is [math]\displaystyle{ f(-2) = f(2) \ !!! }[/math]. It's a quirk that happened to myself more than once.
  
  I've never liked the definition that modulus erases the sign of a number. We all learn that numbers are either positive, negative or zero. What is the "absolute number"?? Something that is neither positive nor negative? This is the confusion that comes along absolute value when we are unaware of functions.

• When drawing the unit circle, do not do this: [math]\displaystyle{ \cos(x) \times \sin(y) }[/math]. The unit circle is not a function of one variable and even less a function of two variables. It's a circle on the XY Cartesian plane. The axes themselves aren't functions nor angles. If you name the horizontal axis [math]\displaystyle{ \cos(x) }[/math] what you are saying is this "When [math]\displaystyle{ x = 1 }[/math], length is one and [math]\displaystyle{ \cos(1) = 1 }[/math]". Analogously, you are saying this for the vertical axis "When [math]\displaystyle{ y = 1 }[/math], length is one and [math]\displaystyle{ \sin(1) = 1 }[/math]". This mistake means you are, inadvertently, treating sine and cosine as linear functions.

• There is a simple confusion that must have happened to almost everyone when plotting trigonometric functions for the first time. When we first learn sine, cosine and tangent we have this strong geometric idea of angles and triangles. The plane has two axes, one for the variable, the angle in this case, and the other for the function's image. I'm pretty sure that almost everyone have, at least once, thought that, for sin(45°) for example, we go to the XY plane and literally measure an angle of 45° to plot a point. This happens way before we even learn about the polar coordinates.

• When we do [math]\displaystyle{ f(x,y) = c }[/math], a confusion that can happen is to think that [math]\displaystyle{ c = x = y }[/math]. We aren't making the function's variables constants, what we are regarding as constant is the image. What we are plotting is every pair [math]\displaystyle{ (x,y) }[/math] for which the function has a certain constant value. In the same way more than one [math]\displaystyle{ x }[/math] can map to one, and only one, [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]. Multiple values for the dependent variables can result in the same constant with multivariable functions.