Erros cometidos com funções

Confusão entre funções de uma e várias variáveis

• Eu nunca vi, mas pode ser que aconteça. Suponha que temos [math]\displaystyle{ f(x,y) = x + y }[/math]. Uma pessoa pode se confundir e fazer isto [math]\displaystyle{ g(x) = x }[/math] e [math]\displaystyle{ h(y) = y }[/math], daí [math]\displaystyle{ f(x,y) = g(x) + h(y) }[/math]. Os resultados numéricos são iguais tanto para a função de duas variáveis quanto para uma soma de duas funções de uma variável. Porém, não podemos dividir uma função de duas variáveis em funções de uma variável assim! O erro aí é que cada função de uma variável tem o seu domínio particular e cada uma representa um processo independente do outro. Pense na raiz quadrada e nas funções trigonométricas. Para alguns pares de números o procedimento anterior pode funcionar, mas é fácil ver que a soma das raízes ou a soma de senos não é igual à raiz da soma ou o seno da soma.

• [math]\displaystyle{ f(x,y) = x^2 }[/math]. Isto é uma função de uma variável ou de duas? O fato da equação não conter um [math]\displaystyle{ y }[/math] não quer dizer que "a segunda variável não existe". Ela existe. Onde? É uma constante, o zero.

• [math]\displaystyle{ f(a,b) = ab }[/math] é uma função de duas variáveis. Porém, [math]\displaystyle{ f(x) = (a + b)x }[/math] é uma função de uma variável. Às vezes temos uma associação tão forte entre letras e variáveis que contamos mais variáveis do que realmente tem, esquecendo que algumas letras são apenas constantes. ISto é especialmente comum na física porque tem muitos parâmetros numa equação e apenas uma variável é importante quando estamos diferenciado ou integrando alguma coisa.

Sobre as propriedades

• [math]\displaystyle{ f(x) = 3 }[/math] é uma função constante e o número 3 é ímpar. Mas a função é par. Às vezes pode confundir.

Sobre o zero e o conjunto vazio

• Eu não sei se isto ocorre, mas algumas pessoas podem achar que se uma função é indefinida num ponto, é o mesmo que dizer que a função é nula ali. Não exatamente. O zero é um número e se um conjunto contém apenas o zero, não é um conjunto vazio porque ele tem sim um elemento.

Sobre a trigonometria

• Um erro que pode acontecer é as pessoas acharem que quando temos uma função que é uma combinação de funções trigonométricas e não trigonométricas, os argumentos são diferentes para cada uma. Não!! Lembre-se que o radiano é apenas um caso especial de número irracional. Não há necessidade de se trabalhar com uma variável diferente na raiz quadrada, log ou polinomial. Acho que uma confusão relacionada com a anterior é como lemos o número [math]\displaystyle{ \pi }[/math]. Às vezes lemos como [math]\displaystyle{ 1 \pi }[/math], o que pode acarretar uma confusão entre [math]\displaystyle{ \pi }[/math] e um radiano.

Sobre os sinais

• Sejam [math]\displaystyle{ x_1 }[/math] [math]\displaystyle{ x_2 }[/math] dois números do domínio da função tais que [math]\displaystyle{ x_2 \gt x_1 }[/math]. Não podemos concluir que [math]\displaystyle{ f(x_2) \gt f(x_1) }[/math] sem saber se a função é crescente ou não! Uma confusão semelhante ocorre quando pensamos que [math]\displaystyle{ -2 \gt -1 }[/math] porque o sinal negativo inverte a comparação.

• Suponha que temos esta função [math]\displaystyle{ f(x) = -x }[/math]. Se aplicarmos [math]\displaystyle{ -x }[/math], a função produz um valor positivo, não negativo! Por exemplo: queremos calcular [math]\displaystyle{ f(-2) }[/math]. Por uma confusão mental entre variável dependente e independente acabamos fazendo isto [math]\displaystyle{ f(-2) = -2 }[/math].

• [math]\displaystyle{ f^{-1}(x) \neq \frac{1}{f(x)} }[/math]. [math]\displaystyle{ f^{-1} }[/math] means the inverse of the function, which is not the same as calculating the inverse of the value of the function at [math]\displaystyle{ x }[/math]. It's often confusing, but the inverse of a function is a concept. The inverse of a number is another number, usually we think on a fraction. Now a function itself is not a number and the inverse function is also not a number, but the concept that if we can relate [math]\displaystyle{ a }[/math] to [math]\displaystyle{ b }[/math], we can make the reversed relationship, [math]\displaystyle{ b }[/math] to [math]\displaystyle{ a }[/math]. That's how I'd try to differentiate using the same word and notation to mean two different things.
  
  [math]\displaystyle{ -f(x) }[/math] on the other hand means to multiply the function by minus one. This operation essentially mirrors all values of the function at each point. Positive becomes negative. Negative becomes positive. Careful! We are not inverting the sign of the function's argument!

• There is another related confusion that is caused by the words "inverse" and "opposite". Ask somebody what is the inverse / opposite of going up? The person is going to answer that is to go down. In daily life we can interchange both words without causing any harm. In mathematics, however, there is a problem. The inverse of exp is log, but both are functions that are always increasing or decreasing if you invert the sign to negative. There is the confusion! It's not uncommon for people to think that the inverse of a function is a function that is, literally, decreasing if the other is increasing and vice-versa.

Concerning equations

• We often learn that [math]\displaystyle{ x^2 - 1 = 0 }[/math] and [math]\displaystyle{ 2x^2 - 2 = 0 }[/math] have the same roots. When solving equations we can multiply by any constant factor because it doesn't change the roots. However, when plotting the function we cannot do that! To multiply a function by a constant factor changes its graph, hence it's no longer the same function. Think about vectors and linear algebra. When we multiply a vector by a constant, we keep the same orientation and direction but change its magnitude. For example: take the function [math]\displaystyle{ \sin(x) }[/math] or [math]\displaystyle{ \cos(x) }[/math], if we multiply it by a constant, we are changing the function's amplitude but not the points where the graph crosses the x axis.

• When one is learning functions for the first time, the expression [math]\displaystyle{ 1 = 2 }[/math] is never true. However, [math]\displaystyle{ f(1) = 2 }[/math] can be true and that depends on the function. It reads as "function [math]\displaystyle{ f }[/math], calculated at the point [math]\displaystyle{ x = 1 }[/math], is equal to 2" or "the function [math]\displaystyle{ f }[/math] is equal to 2 when we calculate it for [math]\displaystyle{ x = 1 }[/math]".

• Going further in calculus one can find exercises with expressions similar to this: [math]\displaystyle{ f(x^2 + 1) = g(x) }[/math]. Let's call [math]\displaystyle{ h(x) = x^2 + 1 }[/math] then what we have is this: [math]\displaystyle{ f(h(x)) = g(x) }[/math]. Be careful to not confuse it with [math]\displaystyle{ x^2 + 1 = x }[/math] in the same way as above with [math]\displaystyle{ 1 = 2 \ ! }[/math] The equation has functions on both sides. We aren't looking at an equation were the arguments of each function are equal to each other. What the equality is doing is comparing functions.

• Suppose we have [math]\displaystyle{ f(x) = x^2 }[/math] and [math]\displaystyle{ g(x) = x^3 }[/math]. The sum is [math]\displaystyle{ f(x) + g(x) = x^2 + x^3 }[/math]. It can happen that people confuse the argument with the equation like this: [math]\displaystyle{ f(x) + g(x) = (f + g)(x + x) }[/math]. Who said that to sum functions is the same as to add up their respective arguments? A linear transformation looks similar, except that both sides of the equation have the same function! Not two different functions as in here.

• There is a certain type of equation that we don't learn in calculus and it's a functional equation. It's an equation where the unknown is a function itself. Such as [math]\displaystyle{ f(x^2 + 2) = x^4 + 4 }[/math]. If we know that, can we find [math]\displaystyle{ f(x) = \ ? }[/math].

Concerning argument, dependent x independent variables

• Careful with the confusion between a function's argument and the value of the function itself! Let's say we have [math]\displaystyle{ f(x) = x^2 }[/math]. Now what is the difference between [math]\displaystyle{ f(x + 1) = x^2 }[/math] and [math]\displaystyle{ f(x) = (x + 1)^2 \ ? }[/math] In the first case we have a composite function, we have some [math]\displaystyle{ g(x) = x + 1 }[/math] and for every [math]\displaystyle{ x }[/math] that we are going to calculate, first we calculate [math]\displaystyle{ g(x) }[/math], then use the value that [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] outputs as the input for [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]. We have [math]\displaystyle{ f(g(x)) = x^2 }[/math].
  
  Now for the second case what we have is another function that is not equal to the first. It's pretty obvious that [math]\displaystyle{ x^2 \neq (x + 1)^2 }[/math]. Ergo, these are two different functions. When we are careless and clueless we do this [math]\displaystyle{ f(x + 1) = (x + 1)^2 }[/math]. Who said that [math]\displaystyle{ x = x + 1 \ ?? }[/math] In the previous example, we defined [math]\displaystyle{ g(x) = x + 1 }[/math] and not [math]\displaystyle{ g(x) = x }[/math].
  
  Can we have [math]\displaystyle{ f(x) = g(x)^2 \ ? }[/math] Sure, why not? We can define a function as being the square of a different function. Now, is that a composite function? No. We aren't using one function as the argument of another. What we are doing is saying that the value of the function [math]\displaystyle{ f }[/math], at every point, is going to be the value of the function [math]\displaystyle{ g }[/math], squared.

• This [math]\displaystyle{ \overrightarrow{r}(t) = \lt x(t), \ y(t), \ z(t) \gt }[/math] is not a function of three variables. It's a vector valued function. In this case, it associates time with position in space. In physics, motion in 3D space is not described by just one function. It's one different function for each axis, but one independent variable for all.

• [math]\displaystyle{ \frac{\sin(2x)}{2} \neq \sin \left(\frac{1}{2}2x\right) }[/math]. Sometimes people are tempted to cancel out the two, but we can't just do that! A similar mistake is [math]\displaystyle{ 4 \left( \frac{1}{2} \right)^x \neq 2(1)^x }[/math]. I believe that this is caused by the fact that some functions allow us to do that because of this property [math]\displaystyle{ cf(x) = f(cx) }[/math].