Operações com funções

A maioria dos livros tem uma seção ou capítulo para provar as propriedades dos números reais. Isto é feito porque os propriedades do números reais se aplicam para funções de valores reais. Na álgebra linear aprendemos o conceito de espaços vetoriais e que funções podem aderir às propriedades de um espaço vetorial.

Nesta página eu vou mostrar como operar com funções. Melhor dizendo, como ler operações com funções. Há professores de cálculo que fazem exatamente o que eu vou mostrar, mas outros simplesmente assumem que você já sabe e pulam esta parte.

Todos os livros tem provas para as operações feitas com limites, derivadas e integrais. Desde que você saiba ler e escrever as operações com funções, fica natural fazer o mesmo com limites, derivadas e integrais.

Soma de funções

Digamos que temos [math]\displaystyle{ f(x) = a }[/math] e [math]\displaystyle{ g(x) = b }[/math]. Suponha que ambas são funções diferentes e que [math]\displaystyle{ a \neq b \neq 0 }[/math] (diferente de zero apenas para evitar confusão entre letras diferentes mas números iguais). Todos aprendemos na escola que [math]\displaystyle{ a + b = c }[/math]. Por exemplo: [math]\displaystyle{ 4 + 1 = 5 }[/math]. Também aprendemos que podemos substituir uma variável por outra equivalente. Então, se [math]\displaystyle{ f(x) = a }[/math] e [math]\displaystyle{ g(x) = b }[/math], podemos escrever [math]\displaystyle{ f(x) + g(x) = c \ ? }[/math] Sim, nós podemos (sem trocadilhos com política).

Agora vamos pensar em [math]\displaystyle{ c }[/math] como uma terceira função, [math]\displaystyle{ h(x) = c }[/math]. Mas não acabamos de dizer que [math]\displaystyle{ c = a + b \ ? }[/math] Então [math]\displaystyle{ c = a + b \ ? }[/math]. Agora um ponto importante: [math]\displaystyle{ h }[/math] não é apenas uma função. O que tem de especial? Acabamos de escrever que qualquer valor que [math]\displaystyle{ c }[/math] assuma, ele sempre será a soma [math]\displaystyle{ a + b }[/math]. Portanto, nossa função [math]\displaystyle{ h }[/math] sempre será a soma de duas outras funções. Quais? [math]\displaystyle{ f }[/math] and [math]\displaystyle{ g }[/math]. Como escrevemos a soma de funções? Assim: [math]\displaystyle{ f + g }[/math]. Portanto, chegamos a [math]\displaystyle{ f + g = h }[/math].

Depois deste raciocínio bastante demorado podemos finalmente escrever [math]\displaystyle{ h(x) = f(x) + g(x) }[/math], que é o mesmo que [math]\displaystyle{ (f + g)(x) = f(x) + g(x) }[/math]. Traduzindo em palavras "A soma de funções num ponto é igual à calcular uma função naquele ponto e somar com o valor da outra função calculada no mesmo ponto".

Observação: numa aula de métodos numéricos um professor me disse que a adição é uma função. Olhe para trás. Tínhamos duas funções diferentes [math]\displaystyle{ f }[/math] e [math]\displaystyle{ g }[/math]. Qual era a função [math]\displaystyle{ h }[/math]? Era a soma de duas outras funções. Logo, a adição é uma função. Pense na definição de uma função, ela leva um número a outro número. O que [math]\displaystyle{ h }[/math] faz? Ela leva valores de duas funções diferentes, calculados para um certo [math]\displaystyle{ x }[/math], a um terceiro valor. Em outras palavras e no exemplo dado, ela produzindo um valor a partir de outros dois.

Segunda observação: A intersecção entre os domínios de ambas as funções não pode ser vazia. Suponha que o domínio de uma função é [math]\displaystyle{ x \gt 0 }[/math]. O domínio da outra é [math]\displaystyle{ x \gt 10 }[/math]. O domínio da soma obviamente não incluirá o intervalo [math]\displaystyle{ [0, \ 10] }[/math], mas será [math]\displaystyle{ x \gt 10 }[/math] porque estes valores também são positivos. O que acontece se uma função for definida para [math]\displaystyle{ x \lt 0 }[/math] e a outra para [math]\displaystyle{ x \gt 0 \ ? }[/math] Não podemos fazer a operação! Porque se escolhermos um número positivo, uma função esta definida e a outra não. Se escolher um negativo o mesmo problema. Logo, para somarmos funções uma condição deve ser satisfeita: pelo menos um elemento deve fazer parte do domínio de ambas as funções.

Product, quotient, multiply by a constant and composite functions

[math]\displaystyle{ (f \cdot g)(x) = f(x)g(x) }[/math]

[math]\displaystyle{ (f / g)(x) = f(x)/g(x) }[/math]

[math]\displaystyle{ (cf)(x) = cf(x) }[/math]

I'm not going to repeat the same lengthy reasoning. The process is the same.

[math]\displaystyle{ (f \circ g)(x) = f(g(x)) }[/math]

The idea of composing a function is quite simple. We can nest as many functions as we want. The domain of the innermost function is going to determine the domain of the outermost function.

In all the previous cases we have the same condition about the domains of each function. If the intersection is empty, we can't perform the operation at all. The composite case for example. If [math]\displaystyle{ g(x) = -x^2 - 1 }[/math] and [math]\displaystyle{ f(x) = \sqrt{x} }[/math] we can't compose them in the order [math]\displaystyle{ f(g(x)) }[/math] because it won't produce any results and the graph won't exist at all for all real numbers.