Classificação de sistemas linares
Em álgebra linear, como o nome já diz, não são estudados sistemas não lineares. Equações com funções trigonométricas, exponenciais, logaritmos, produtos de incógnitas, raiz e potências não são estudadas.
Os sistemas lineares são classificados em dois tipos:
Sistema linear homogêneo: todos os termos constantes são nulos. Um sistema homogêneo sempre tem solução. Exemplo
[math]\displaystyle{ \begin{cases} x & + & y & = & 0 \\ 2x & + & 3y & = & 0 \end{cases} }[/math]
Sistema linear não homogêneo: nem todos os termos constantes são nulos. Um sistema não homogêneo pode ter ou não solução. Exemplo
[math]\displaystyle{ \begin{cases} x & + & y & = & 1 \\ 2x & + & 3y & = & 0 \end{cases} }[/math]
Quanto a existência de solução, um sistema pode ter uma, infinitas ou nenhuma solução. Não existem outras possibilidades.
Uma pergunta natural: se existem sistemas com uma solução ou infinitas, não podemos ter sistemas com 10, 40 ou 1000 soluções? Afinal, entre um e infinito temos muitos e muitos números inteiros não? Pense no seguinte: geometricamente, sistemas lineares como a maioria dos que estudamos, representam intersecções de retas e/ou planos. Se a intersecção existe, um ponto é comum à mais de uma equação. Uma reta intercepta outra em apenas um ponto, afinal são retas. Se forem infinitos pontos, temos retas sobrepostas ou coincidentes. O mesmo raciocínio para intersecção de planos entre si e entre retas e planos. Agora imagine uma trajetória curva, tortuosa, tal que temos um plano e uma trajetória não linear que intercepta o mesmo plano em dez pontos. Percebeu que não estamos mais falando de uma trajetória retilínea e sim curva? Então não estamos mais no domínio dos sistemas lineares. Estamos agora num domínio de equações e sistemas não lineares que são mais complexos e não são estudados na álgebra linear.
Sistema possível e determinado: também chamado de sistema consistente ou compatível. Possui solução única. Exemplo
[math]\displaystyle{ \begin{cases} x & + & y & + & z & = & 0 \\ x & - & y & + & 3z & = & 0 \\ 2x & + & 2y & - & z & = & 0 \end{cases} }[/math]
Sistema possível e indeterminado: é um sistema consistente, mas existem infinitas soluções. Ocorre quando o número de equações é inferior ao de incógnitas, ou quando o número de equações linearmente independentes é inferior ao de incógnitas. Exemplos
[math]\displaystyle{ \begin{cases} x & + & y & + & 3z & = & 0 \\ 3x & - & y & & & = & 0 \end{cases} }[/math]
[math]\displaystyle{ \begin{cases} x & + & y & + & 3z & = & 0 \\ 3x & - & y & - & z & = & 0 \\ 4x & & & + & 2z & = & 0 \end{cases} }[/math]
Sistema impossível: também chamado de sistema inconsistente ou incompatível. Não possui solução. Exemplo
[math]\displaystyle{ \begin{cases} x + y = 2 \\ x + y = 3 \end{cases} }[/math]
Representação matricial de um sistema linear:
[math]\displaystyle{ \begin{cases} x & + & y & - & 2z & = & 0 \\ 3x & - & y & + & z & = & 1 \\ x & + & y & - & z & = & 2 \end{cases} }[/math]
[math]\displaystyle{ \left(\begin{matrix} 1 & 1 & -2 \\ 3 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}\right) }[/math]
Os coeficientes de cada incógnita formam uma matriz com os elementos dispostos da mesma maneira que no sistema. Os termos independentes formam uma matriz coluna. As incógnitas formam outra matriz coluna. A notação usual é AX = B, onde A é a matriz dos coeficientes, X o vetor das incógnitas e B o vetor dos termos independentes.
