Cálculo diferencial e integral
Eu escolhi uma ordem de tópicos que não é a mesma ordem de um curso regular ou livro. Não há nenhuma razão especial para isto, exceto que alguns conceitos como o domínio de uma função de uma variável podem ser estendidos facilmente para muitas variáveis. Por quê não explicar para uma variável e já estender naturalmente para várias variáveis?
Eu estou partindo do pressuposto de que se você esta estudando cálculo, você já sabe traçar gráficos e sabe as funções mais comuns. Também estou omitindo as provas sobre as propriedades dos números reais. Não vou incluir notas históricas neste site porque o objetivo não é ser um livro e nem ser extremamente rigoroso.
Grande parte das dificuldades para aprender cálculo dizem respeito à leitura. Quando aprendemos matemática na escola a maior ênfase costuma ficar com as regras e os cálculos sem maiores explicações. Quando temos que resolver uma equação, pergunte para si mesmo "O que a equação significa? Há uma interpretação física? O volume pode ser negativo? A área pode ser negativa? A variável independente pode assumir qualquer valor? O domínio de uma função inclui qualquer valor ou há valores proibidos? O que significa uma raiz de uma equação". Quando ler um problema, pergunte "Entendi as condições? Há alguma informação faltando do exercício?". Também ajuda ler os números e letras com uma perspectiva diferente. Aquela letra representa alguma quantidade específica? Aquele número é apenas um número ou carrega um significado consigo? Às vezes o simples fato de ler "vezes dois" como "dobre o valor" pode mudar a interpretação e ajudar na resolução do exercício.
Por exemplo: leia [math]\displaystyle{ x = 3 }[/math]. Uma forma é literal "[math]\displaystyle{ x }[/math] é igual a três". A outra forma é "temos uma intersecção de duas funções [math]\displaystyle{ f(x) = x }[/math] e [math]\displaystyle{ g(x) = 3 }[/math]". Apenas por mudar a forma de ler a mesma expressão e podemos encontrar a solução de muitos problemas e exercícios com uma simples mudança de leitura. Às vezes, ao resolvermos uma equação, chegamos num resultado como [math]\displaystyle{ 0 = 3 }[/math]. Ou cometemos um erro ou a equação não tem solução porque não há intersecção das retas ou funções. Outro caso, [math]\displaystyle{ f(x) \gt 0 }[/math]. Uma forma de ler é literal "o valor da função no x é maior do que zero". A outra é "para quais valores de x o gráfico da função esta acima do eixo horizontal?".
Em cálculo temos muitas expressões com muitos termos e eles podem ser derivadas, integrais, limites ou apenas números. Quando você lê uma prova de uma propriedade dos limites, derivadas ou integrais, esteja ciente de que não basta ler [math]\displaystyle{ f(a) = b }[/math] como "[math]\displaystyle{ f }[/math] de [math]\displaystyle{ a }[/math] é igual a [math]\displaystyle{ b }[/math]". Temos que ler "a função [math]\displaystyle{ f }[/math], em [math]\displaystyle{ x = a }[/math], tem um valor igual a [math]\displaystyle{ b }[/math]". Ler corretamente as expressões é importante em toda parte, não estamos apenas escrevendo a mesma coisa de formas diferentes. Nas demonstrações uma expressão é equivalente a outra, mas são lidas de maneiras distintas.
Eu tive uma professora de química da atmosfera que disse que no tempo dela de graduação, quando não haviam computadores e nem telefones móveis com processadores avançados como hoje, ela aprendeu integrais com papel e tesoura. Como assim? Ela disse que havia um método que consistia em traçar o gráfico no papel, depois cortar o papel e com uma balança de alta precisão medir o peso do papel. Isto é algo que não entendo na matemática. Alguns professores tentam da melhor forma possível criar associações e dar aplicações à teoria. Já outros não querem sair da teoria e ir além das equações. Preconceito? Purismo? Não sei.
Há uma questão sobre a intuição que eu não sei explicar. Em cálculo temos que encarar provas rigorosas porque nada cai do céu. Uma vez eu ouvi um professor de cálculo dizendo que alguns alunos fazem contas na fé. Com cálculo temos o conceito de limites e acho que é aqui onde a fé entra. Muitos limites de funções são fáceis e resultam em zero ou infinito. Frequentemente tais limites são fáceis porque eles correspondem à intuição. Mas é aí que mora o problema de fazer contas com base na fé. Muitos exercícios são contra-intuitivos. A intuição matemática não é um exercício de fé! Não estou discutindo religião, mas o fato de que as pessoas frequentemente acreditam que o resultado de uma conta deve ser maior ou menor, com base na fé. Quando se trata de probabilidade a fé costuma ser problemática e com ela podemos facilmente achar que a probabilidade é alta ou baixa sem ter fundamento para tal. Você não pode adivinhar resultados de contas na fé! Eu vi isso em aulas de métodos numérico. Às vezes as pessoas tentam resolver por "tentativa e erro", na esperança de que a resposta vai surgir depois de muitas tentativas e erros. Isto é um exercício de fé disfarçado. Eu tenho que admitir que já fiz isso!
Bibliografia
- Guidorizzi. H. L.; Um curso de cálculo volumes 1 - 4. 2001.
- Stewart J.; Calculus. 2013.
- Ávila G. S.; Cálculo das funções de uma variável volume 1. 2003.
- Spivak. M.; Calculus. 2008.
- Apostol T. M.; Calculus vol I - II. 1967.
