Erros cometidos com funções

Confusão entre funções de uma e várias variáveis

• Eu nunca vi, mas pode ser que aconteça. Suponha que temos [math]\displaystyle{ f(x,y) = x + y }[/math]. Uma pessoa pode se confundir e fazer isto [math]\displaystyle{ g(x) = x }[/math] e [math]\displaystyle{ h(y) = y }[/math], daí [math]\displaystyle{ f(x,y) = g(x) + h(y) }[/math]. Os resultados numéricos são iguais tanto para a função de duas variáveis quanto para uma soma de duas funções de uma variável. Porém, não podemos dividir uma função de duas variáveis em funções de uma variável assim! O erro aí é que cada função de uma variável tem o seu domínio particular e cada uma representa um processo independente do outro. Pense na raiz quadrada e nas funções trigonométricas. Para alguns pares de números o procedimento anterior pode funcionar, mas é fácil ver que a soma das raízes ou a soma de senos não é igual à raiz da soma ou o seno da soma.

• [math]\displaystyle{ f(x,y) = x^2 }[/math]. Isto é uma função de uma variável ou de duas? O fato da equação não conter um [math]\displaystyle{ y }[/math] não quer dizer que "a segunda variável não existe". Ela existe. Onde? É uma constante, o zero.

• [math]\displaystyle{ f(a,b) = ab }[/math] é uma função de duas variáveis. Porém, [math]\displaystyle{ f(x) = (a + b)x }[/math] é uma função de uma variável. Às vezes temos uma associação tão forte entre letras e variáveis que contamos mais variáveis do que realmente tem, esquecendo que algumas letras são apenas constantes. ISto é especialmente comum na física porque tem muitos parâmetros numa equação e apenas uma variável é importante quando estamos diferenciado ou integrando alguma coisa.

Sobre as propriedades

• [math]\displaystyle{ f(x) = 3 }[/math] é uma função constante e o número 3 é ímpar. Mas a função é par. Às vezes pode confundir.

Sobre o zero e o conjunto vazio

• Eu não sei se isto ocorre, mas algumas pessoas podem achar que se uma função é indefinida num ponto, é o mesmo que dizer que a função é nula ali. Não exatamente. O zero é um número e se um conjunto contém apenas o zero, não é um conjunto vazio porque ele tem sim um elemento.

Sobre a trigonometria

• Um erro que pode acontecer é as pessoas acharem que quando temos uma função que é uma combinação de funções trigonométricas e não trigonométricas, os argumentos são diferentes para cada uma. Não!! Lembre-se que o radiano é apenas um caso especial de número irracional. Não há necessidade de se trabalhar com uma variável diferente na raiz quadrada, log ou polinomial. Acho que uma confusão relacionada com a anterior é como lemos o número [math]\displaystyle{ \pi }[/math]. Às vezes lemos como [math]\displaystyle{ 1 \pi }[/math], o que pode acarretar uma confusão entre [math]\displaystyle{ \pi }[/math] e um radiano.

Sobre os sinais

• Sejam [math]\displaystyle{ x_1 }[/math] [math]\displaystyle{ x_2 }[/math] dois números do domínio da função tais que [math]\displaystyle{ x_2 \gt x_1 }[/math]. Não podemos concluir que [math]\displaystyle{ f(x_2) \gt f(x_1) }[/math] sem saber se a função é crescente ou não! Uma confusão semelhante ocorre quando pensamos que [math]\displaystyle{ -2 \gt -1 }[/math] porque o sinal negativo inverte a comparação.

• Suponha que temos esta função [math]\displaystyle{ f(x) = -x }[/math]. Se aplicarmos [math]\displaystyle{ -x }[/math], a função produz um valor positivo, não negativo! Por exemplo: queremos calcular [math]\displaystyle{ f(-2) }[/math]. Por uma confusão mental entre variável dependente e independente acabamos fazendo isto [math]\displaystyle{ f(-2) = -2 }[/math].

• [math]\displaystyle{ f^{-1}(x) \neq \frac{1}{f(x)} }[/math]. [math]\displaystyle{ f^{-1} }[/math] significa o inverso da função, que não é a mesma coisa que calcular o inverso do valor da função em [math]\displaystyle{ x }[/math]. É bastante comum confundir, mas o inverso de uma função é um conceito. O inverso de um número é outro número e geralmente pensamos numa fração. Agora uma função em si não é um número e o inverso da função também não é um número, mas um conceito que diz que se relacionamos [math]\displaystyle{ a }[/math] com [math]\displaystyle{ b }[/math], a relação inversa, se existir, é [math]\displaystyle{ b }[/math] com [math]\displaystyle{ a }[/math]. Esta é a forma que eu teria para diferenciar a mesma palavra e notação para indicar duas coisas distinas.
  
  Por outro lado, [math]\displaystyle{ -f(x) }[/math] significa multiplicar a função por menos um. Esta operação troca o sinal de todos os valores da função em cada ponto. Positivo se torna negativo e negativo se torna positivo. Cuidado! Invertemos o sinal do valor da função, não o sinal do argumento da função!

• Uma outra confusão relacionada com a anterior diz respeito às palavras "inverso" e "oposto". Pergunte para alguém qual o inverso / oposto de subir. A resposta vai ser descer. No cotidiano tanto faz o invero ou o oposto, não temos maiores problemas. Porém, na matemática há distinção. O inverso do exp é o log, mas ambas são funções estritamente crescentes ou decrescentes se invertermos o sinal. Aí esta a confusão! Não é incomum uma pessoa pensar que o inverso de uma função é, literalmente, uma função decrescente e vice-versa.

Sobre equações

• Frequentemente aprendemos que [math]\displaystyle{ x^2 - 1 = 0 }[/math] e [math]\displaystyle{ 2x^2 - 2 = 0 }[/math] tem as mesmas raízes. Quando resolvemos equações podemos multiplicar todos os termos por uma constante porque as raízes não mudam. Porém, o gráfico da função muda quando fazemos esta operação! As raízes se mantém, mas o gráfico mudou e a função não é mais a mesma. Pense em vetores e álgebra linear. Quando multiplicamos um vetor por uma constante, não mudamos a orientação do vetor, mas mudamos a sua magnitude. Por exemplo: pegue uma função [math]\displaystyle{ \sen(x) }[/math] ou [math]\displaystyle{ \cos(x) }[/math]. Se multiplicarmos por uma constante, mudamos a amplitude da onda, mas não os pontos em que o gráfico cruza o eixo x.

• Quando aprendemos sobre funções pela primeira vez, a expressão [math]\displaystyle{ 1 = 2 }[/math] nunca é verdadeira. Porém, [math]\displaystyle{ f(1) = 2 }[/math] pode ser verdadeira e isto depende da função. Leia-se "a função [math]\displaystyle{ f }[/math], calculada no ponto [math]\displaystyle{ x = 1 }[/math], é igual a 2" ou "a função [math]\displaystyle{ f }[/math] é igual a 2 quando a calculamos para [math]\displaystyle{ x = 1 }[/math]".

• Avançando no cálculo podemos encontrar exercícios com expressões similares a esta: [math]\displaystyle{ f(x^2 + 1) = g(x) }[/math]. Façamos [math]\displaystyle{ h(x) = x^2 + 1 }[/math]. Então o que temos é isto: [math]\displaystyle{ f(h(x)) = g(x) }[/math]. Cuidado para não confundir [math]\displaystyle{ x^2 + 1 = x }[/math] da mesma forma que no caso anterior, onde sabemos que [math]\displaystyle{ 1 = 2 }[/math] não é possível. A equação [math]\displaystyle{ f(h(x)) = g(x) }[/math] tem funções em ambos os lados. Não estamos olhando para [math]\displaystyle{ h(x)= x }[/math], mas para uma igualdade entre [math]\displaystyle{ f }[/math] e [math]\displaystyle{ g }[/math].

• Suppose we have [math]\displaystyle{ f(x) = x^2 }[/math] and [math]\displaystyle{ g(x) = x^3 }[/math]. The sum is [math]\displaystyle{ f(x) + g(x) = x^2 + x^3 }[/math]. It can happen that people confuse the argument with the equation like this: [math]\displaystyle{ f(x) + g(x) = (f + g)(x + x) }[/math]. Who said that to sum functions is the same as to add up their respective arguments? A linear transformation looks similar, except that both sides of the equation have the same function! Not two different functions as in here.

• There is a certain type of equation that we don't learn in calculus and it's a functional equation. It's an equation where the unknown is a function itself. Such as [math]\displaystyle{ f(x^2 + 2) = x^4 + 4 }[/math]. If we know that, can we find [math]\displaystyle{ f(x) = \ ? }[/math].

Concerning argument, dependent x independent variables

• Careful with the confusion between a function's argument and the value of the function itself! Let's say we have [math]\displaystyle{ f(x) = x^2 }[/math]. Now what is the difference between [math]\displaystyle{ f(x + 1) = x^2 }[/math] and [math]\displaystyle{ f(x) = (x + 1)^2 \ ? }[/math] In the first case we have a composite function, we have some [math]\displaystyle{ g(x) = x + 1 }[/math] and for every [math]\displaystyle{ x }[/math] that we are going to calculate, first we calculate [math]\displaystyle{ g(x) }[/math], then use the value that [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] outputs as the input for [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]. We have [math]\displaystyle{ f(g(x)) = x^2 }[/math].
  
  Now for the second case what we have is another function that is not equal to the first. It's pretty obvious that [math]\displaystyle{ x^2 \neq (x + 1)^2 }[/math]. Ergo, these are two different functions. When we are careless and clueless we do this [math]\displaystyle{ f(x + 1) = (x + 1)^2 }[/math]. Who said that [math]\displaystyle{ x = x + 1 \ ?? }[/math] In the previous example, we defined [math]\displaystyle{ g(x) = x + 1 }[/math] and not [math]\displaystyle{ g(x) = x }[/math].
  
  Can we have [math]\displaystyle{ f(x) = g(x)^2 \ ? }[/math] Sure, why not? We can define a function as being the square of a different function. Now, is that a composite function? No. We aren't using one function as the argument of another. What we are doing is saying that the value of the function [math]\displaystyle{ f }[/math], at every point, is going to be the value of the function [math]\displaystyle{ g }[/math], squared.

• This [math]\displaystyle{ \overrightarrow{r}(t) = \lt x(t), \ y(t), \ z(t) \gt }[/math] is not a function of three variables. It's a vector valued function. In this case, it associates time with position in space. In physics, motion in 3D space is not described by just one function. It's one different function for each axis, but one independent variable for all.

• [math]\displaystyle{ \frac{\sin(2x)}{2} \neq \sin \left(\frac{1}{2}2x\right) }[/math]. Sometimes people are tempted to cancel out the two, but we can't just do that! A similar mistake is [math]\displaystyle{ 4 \left( \frac{1}{2} \right)^x \neq 2(1)^x }[/math]. I believe that this is caused by the fact that some functions allow us to do that because of this property [math]\displaystyle{ cf(x) = f(cx) }[/math].