Imaginando o gráfico de funções de várias variáveis

Se você entende a parábola, a linha reta, seno e cosseno, exponencial e logaritmo, já esta bom. A maioria dos gráficos de funções em 3D é uma combinação dos anteriores. Assim uma função pode ser uma onda numa direção e outra onda na outra direção. Uma parábola em uma direção e outra parábola na outra direção. São gráficos difíceis de traçar à mão e a maioria dos professores não pede para fazer à mão. O que aprendemos em cálculo é como aproveitar a geometria analítica e as curvas de nível para ter uma boa ideia de como os gráficos mais simples de funções de duas variáveis bom ser traçados.

Se você tem uma boa familiaridade com o deslocamento de gráficos de funções de uma variável para cima, para baixo e para os lados, é bastante natural imaginar o mesmo para funções de duas variáveis. Os casos mais fáceis são aqueles em que uma variável é constante, enquanto a outra é uma função já conhecida de uma variável. Multiplicar uma variável por uma constante deforma o gráfico da mesma maneira que uma função de uma variável seria, exceito que no caso de duas variáveis uma variável não dependa da outra. Assim a deformação pode ser assimétrica.

Para explicar porque somar uma variável com outra gera gráficos onde um eixo se comporta de maneira diferente do outro eixo é preciso entender o conceito de dependência linear da álgebra linear. Quando traçamos curvas pametrizadas no plano, X e Y são independentes uma da outra. Para o espaço 3D é o mesmo conceito. Em cálculo estudamos funções de uma ou mais variáveis mas elas não carregam nenhuma dependência entre si. Para traçar o gráfico de uma função de três variáveis precisaríamos de um espaço 4D, quatro eixos linearmente independentes. Porém não temos como fazê-lo. Se você traçar três eixos e adicionar um quarto, invariavelmente ele será dependende dos outros três. Alguns professores de cálculo mencionam a dependência linear, mas na maioria dos casos eles acabam omitindo isto.

Se você conseguir acompanhar este exemplo, todos os outros casos são apenas variações desta simples visualização. Observe como é uma parábola paralela ao eixo [math]\displaystyle{ x }[/math]. Nós deslocamos a parábola ao longo do eixo [math]\displaystyle{ y }[/math].

Para verificar os gráficos use o wolfram, geogebra, desmos ou google.

Função constante

• [math]\displaystyle{ f(x,y) = k }[/math]

Esta é a função mais fácil. Para cada par [math]\displaystyle{ (x,y) }[/math], a função assume o mesmo valor constante. É um plano paralelo ao plano XY.

Adição de funções

• [math]\displaystyle{ f(x,y) = x + y }[/math]

Este é análogo à função identidade em uma variável. Exceto que agora temos um plano, não apenas uma reta. Se multiplicarmos uma das variáveis por uma constante, estaremos mudando a inclinação naquela direção, mas não na outra.

• [math]\displaystyle{ f(x,y) = x^2 + y^2 }[/math]

Este é análogo a uma parábola. Exceto que agora temos duas parábolas. Duas como? Uma para cada eixo. Imagine uma parábola e daí rode | gire ao redor do seu próprio eixo vertical. O nome para esta figura é "parabolóide". Se alterarmos uma variável multiplicando-a por uma constante, o parabolóide perde a sua simetria. Se aumentarmos a potência de uma variável para 4, 6, etc. Estaremos "achatando" a parábola da mesma maneira que acontece com uma função de uma variável.

• [math]\displaystyle{ f(x,y) = x^2 + 0 }[/math]

Como a segunda variável é uma constante, temos uma parábola que é transladada ao longo de [math]\displaystyle{ y }[/math] numa taxa constante. Essencialmente, uma parábola na frente da outra em 3D. É uma espécie de "U" ou meio cano (não exatamente um "U" perfeito, atenção). Pense numa pista de snowboarding ou de skate. Com este mesmo raciocínio podemos explicar os gráficos do log, exp e ondas onde a segunda variável é uma constante.

• [math]\displaystyle{ f(x,y) = \sin(x) + y }[/math]

Iste é bastante semelhante a [math]\displaystyle{ \sin(x) + x }[/math], exceto que uma variável não esta "interferindo" na outra. Ao longo de [math]\displaystyle{ x }[/math] é uma onda senoidal. Ao longo de [math]\displaystyle{ y }[/math] é uma função identidade. No exemplo anterior todas as parábolas tinham a mesma "altura". Agora cada onda não tem a mesma "altura", mas uma diferença de [math]\displaystyle{ y }[/math] unidades para cima ou para baixo. Uma forma de visualizar esta função é pensar em telhas. Há um padrão ondulatório, mas ao mesmo tempo o telhado não é paralelo ao chão, é inclinado.

• [math]\displaystyle{ f(x,y) = \sin(x) + y^2 }[/math]

Bem selhante ao anterior, exceto que o eixo [math]\displaystyle{ y }[/math] esta "curvado" e agora é uma parábola. Ao contrário do caso [math]\displaystyle{ \sen(x) + x^2 }[/math], onde o quadrado "ganha" do seno. Com duas variáveis a parábola pode "coexistir" com a onda porque estão em eixos diferentes. As variáveis são linearmente independentes.

• [math]\displaystyle{ f(x,y) = \sin(x) + \sin(y) }[/math]

Temos ondas com o mesmo período em ambas as direções. Quando [math]\displaystyle{ \sen(x) }[/math] é mínimo, [math]\displaystyle{ \sen(y) }[/math] também é. O mesmo para o máximo.

Produto de funções

• [math]\displaystyle{ f(x,y) = xy }[/math]

Numa primeira impressão isto pode parecer uma superfície plana, mas não é. Esta função não é linear. Pense na função identidade, cada par ordenado é da forma [math]\displaystyle{ x = y }[/math]. O que acontece quando ambos as variáveis são iguais e estamos calculando o produto das mesmas? Então temos [math]\displaystyle{ x^2 }[/math] ou [math]\displaystyle{ y^2 }[/math]. Isto significa que ao longo das diagonais do plano cartesiano temos parábolas. Agora a pergunta: parábolas de concavidade para cima ou para baixo? Depende do produto [math]\displaystyle{ xy }[/math]. Sabemos que no plano cartesiano alguns pares são ambos positivos, outros são ambos negativos e o restante é um negativo e o outro positivo. É difícil de por em palavras, mas numa diagonal é uma parábola com concavidade para cima. Na outra diagonal é para baixo. Tente este exercício de imaginação: pegue um quadrado feito de material flexível. Pegue dois vértice opostos e puxe-os para cima. Os outros dois para baixo.

• [math]\displaystyle{ f(x,y) = (xy)^2 }[/math]

Este gráfico é bem parecido com o anterior com uma diferença: não assume valores negativos. Isto significa que temos dois eixos se comportando como parábolas com concavidade para cima. Aplique [math]\displaystyle{ x = 1 }[/math] e temos uma parábola paralela ao eixo [math]\displaystyle{ y }[/math]. Aplique [math]\displaystyle{ y = 1 }[/math] e temos uma parábola paralela ao eixo [math]\displaystyle{ x }[/math]. Onde a função cresce mais rápido? Quando [math]\displaystyle{ |x| = |y| }[/math]. Ou seja, nas diagonais. Ao longo dos eixos a função sempre é nula.

Um caso um pouco mais difícil. Você consegue imaginar o gráfico de [math]\displaystyle{ f(x,y) = (2 - x^2)(2 - y^2) \ ? }[/math] É quase igual ao de antes, mas não será mais nulo na origem. Os sinais de menos podem nos enganar e fazer pensar que são parábolas com concavidade para baixo. Mas temos isto [math]\displaystyle{ {x^2}{y^2} \gt x^2 }[/math] e [math]\displaystyle{ {x^2}{y^2} \gt y^2 }[/math] para todo [math]\displaystyle{ x,y \gt 1 }[/math]. O que acontece em [math]\displaystyle{ (100, 0) }[/math] e [math]\displaystyle{ (0,100) \ ? }[/math] Ao longo dos eixos o gráfico não é mais nulo como antes, agora ele esta descendo.

• [math]\displaystyle{ f(x,y) = \frac{1}{x^2 + y^2} }[/math]

Numa primeira impressão a função se parece com [math]\displaystyle{ 1/x^2 }[/math]. Estamos corretos aqui, o formato do gráfico lembra sim a sua versão de uma variável. Se mantivermos uma variável igual a zero, o gráfico da função é reduzido a um problema de uma variável. Ele é simétrico em ambas as direções. Podemos ter uma boa estimativa aqui e compará-lo com o paraboloide. No caso do paraboloide nós pegamos a parábola e giramos ao redor do eixo vertical. Podemos fazer o mesmo e girar | rotacionar [math]\displaystyle{ 1/x^2 }[/math] ao longo do seu próprio eixo vertical para imaginar o gráfico. O formato do gráfico lembra um vórtice de água virado de cabeça para baixo.

• [math]\displaystyle{ f(x,y) = \frac{1}{(x + y)^2} }[/math]

Esta guarda alguma semelhança com o anterior, mas sem girar | rodar o gráfico. Toda soma [math]\displaystyle{ x + y }[/math] será elevada ao quadrado e sendo assim, esta função nunca assume valores negativos também. O que acontece quando a soma é [math]\displaystyle{ 0 \lt |x + y| \lt 1 \ ? }[/math] Temos frações como [math]\displaystyle{ 1/10 }[/math] e calcular o inverso disto significa que [math]\displaystyle{ f(x,y) }[/math] cresce infinitamente para estes pontos. Quando fazemos [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math], [math]\displaystyle{ y }[/math] é próximo de 1 mas não igual a 1. Repita o mesmo procedimento para [math]\displaystyle{ y = 0 }[/math] e [math]\displaystyle{ x }[/math] bem próximo de 1. Podemos subtrair pequenas quantidade de uma variável e adicioná-las a outra, mantendo a soma de ambas entre 0 e 1. Isto deve nos dar uma vaga ideia de que a divisão por zero ocorre numa linha reta, specificamente a linha que passa pelos pontos [math]\displaystyle{ (0,1) }[/math] e [math]\displaystyle{ 1,0 }[/math] do domínio desta função.

Funções compostas

• [math]\displaystyle{ f(x,y) = \sin(x + y) }[/math]

Don't be fooled thinking that to sum arguments is the same as to sum functions! For composite functions in two variables it's a little tricky to get the idea of the graph. The first thing to notice is that we have one sine function, not two as in [math]\displaystyle{ \sin(x) + \sin(y) }[/math]. This should give us the idea that there only one wave pattern in a single direction, no interference with waves in any other direction. The second thing to notice is that the angle is going to be a sum of two parts. How many pairs [math]\displaystyle{ (x,y) }[/math] result in, say, [math]\displaystyle{ \pi/2 \ ? }[/math] There are infinitely many combinations that add up to the right angle. This should give us the idea that, for every angle, there are infinitely many pairs. With that idea in mind we can think that each "height" of the sine wave is going to be constant along a straight line over this function's domain. This is exactly the idea of this graph, a series of waves propagating in a single direction without "spreading" over time in circular patterns. Think about waves parallel to the shoreline.

• [math]\displaystyle{ f(x,y) = \sin(x^2 + y^2) }[/math]

If you are quick to notice it we have what seems to be the equation of a circle as the sine's argument. We have that [math]\displaystyle{ \theta = (x^2 + y^2) }[/math]. With this we can already say that this sine wave is propagating in all directions in a circular pattern. The same pattern of throwing a stone on a lake, except that this function's graph keeps its ripples over long distances from the origin. Multiply the function by a decreasing function, in all directions, and we effectively dampen the oscillations.

• [math]\displaystyle{ f(x,y) = \sin(xy) }[/math]

Knowing the graph of [math]\displaystyle{ f(x,y) = xy }[/math] helps here. Along the axes the function is zero and [math]\displaystyle{ \sin(0) = 0 }[/math]. With the product [math]\displaystyle{ xy }[/math] the waves are neither circular nor straight as the previous two examples. To keep the angle a constant what should happen to the product [math]\displaystyle{ xy \ ? }[/math]. One variable should be the inverse of the other. This reminds us of this single variable function [math]\displaystyle{ f(x) = 1/x }[/math]. With that we can take an educated guess and say that the waves are propagating in all directions in a fashion similar to [math]\displaystyle{ 1/x }[/math] and [math]\displaystyle{ -1/x }[/math]. That is, along the curves of the inverse of [math]\displaystyle{ x }[/math] the sine is a constant.

• [math]\displaystyle{ f(x,y) = e^{-x^2 - y^2} }[/math]

If you know the graph of [math]\displaystyle{ e^{-x^2} }[/math] the graph of the two variable version should come naturally. It's symmetric in both directions. Remember that [math]\displaystyle{ e^{-x^2 - y^2} = e^{-x^2} \cdot e^{-y^2} }[/math]. If you look at [math]\displaystyle{ -x^2 - y^2 }[/math] it does resemble the equation of a circle. That means that for every [math]\displaystyle{ e^n }[/math] there are infinitely many pairs [math]\displaystyle{ (x,y) }[/math] that satisfy that number. The number being the distance from the origin. The graph resembles a hill.

• [math]\displaystyle{ f(x,y) = \ln(x^2 + y^2) }[/math]

The first thing to notice is that the argument cannot be zero. Again, [math]\displaystyle{ x^2 + y^2 }[/math] does remind us of the circle. The domain of this function is [math]\displaystyle{ x^2 + y^2 \gt 0 }[/math]. The graph of [math]\displaystyle{ f(x) = \ln(x^2) }[/math] is very similar to the graph of [math]\displaystyle{ f(x) = \ln(x) }[/math] except that the square root allows it to be plotted for negative inputs. With this in mind we can safely assume that the graph is symmetric in both directions. It resembles those illustrations that depict how a black hole distorts space-time.