Propriedades dos limites
As propriedades dos limites são consequências diretas do modo como operamos com funções. Quando adicionamos uma função à outra nós o fazemos para cada um dos seus respectivos pontos. Somamos as suas respectivas expressões, que resultam numa terceira função que, para cada ponto, dá a soma dos valores das respectivas funções que estamos somando. Isto naturalmente dá a ideia de que a soma de funções contínuas é contínua, porque se o limite de ambas as funções existe num ponto, então a função resultante também esta definida naquele ponto e tem um limite conhecido. Por exemplo: se o limite de uma função é 1 num ponto e o limite de outra função é 2 no mesmo ponto. O resultado da soma dos limites deverá ser 3.
Note que se o limite de uma função não existe num ponto. Então adicionar uma função cujo limite exista resulta num limite, de uma soma de funções, que não existe naquele ponto. Eu apenas menciono isto porque algumas pessoas podem pensar que se um limite não existe, isto seria o equivalente a um buraco. Portanto, adicionar uma função cujo limite exista naquele mesmo ponto seria como "preencher" o buraco. Este raciocínio esta completamente furado. Para entender melhor pegue uma função cujo limite exista e outro cujo limite não exista, no mesmo tempo. Faça os gráficos. Ficará óbvio que naquele ponto o limite não existe.
Para funções de várias variáveis as mesmas propriedades são verdadeiras.
The properties
- [math]\displaystyle{ \lim_{x \ \to \ a} [f(x) \pm g(x)] = \lim_{x \ \to \ a} f(x) \pm \lim_{x \ \to \ a} g(x) = L_1 \pm L_2 }[/math] (The limit of the sum | difference is the sum | difference of the limits)
- [math]\displaystyle{ \lim_{x \ \to \ a} f(x)g(x) = \left(\lim_{x \ \to \ a} f(x)\right) \left(\lim_{x \ \to \ a} g(x)\right) = L_1L_2 }[/math] (The limit of the product is the product of the limits. Swap the second function with [math]\displaystyle{ \frac{1}{g(x)} }[/math] and we have the quotient rule, provided that the second function is not zero at that point.)
- [math]\displaystyle{ \lim_{x \ \to \ a} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\lim_{x \ \to \ a} f(x)} = \sqrt[n]{L} }[/math]. (The limit of the nth root is the nth root of the limit, provided that the limit is not negative and [math]\displaystyle{ n }[/math] is even)
- [math]\displaystyle{ \lim_{x \ \to \ a} cf(x) = c\lim_{x \ \to \ a} f(x) = cL }[/math]. (The limit of a function times a constant is the constant times the limit. This property is a linear transformation because when we multiply a function by a constant we don't change the critical points, they remain where they already are. We often forget that to multiply by 1 is the same as to multiply by c and divide by c at the same time, provided that c is not zero.)
- [math]\displaystyle{ \lim_{x \ \to \ a} f(\overbrace{g(x)}^{u}) = \lim_{u \ \to \ g(a)} f(u) }[/math]. (Careful with this! The existence of the limit of [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] does not guarantee the existence of the limit of [math]\displaystyle{ f(g(x)) }[/math]. However, if the limif of [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] does not exist, this guarantees that the limit of [math]\displaystyle{ f(g(x)) }[/math] does not too.)
Proofs of the properties
Most teachers skip those in class because they take a lot of time to properly explain all the details.
[math]\displaystyle{ (f + g)(x) = f(x) + g(x) }[/math] That's the expression that means sum of functions.
[math]\displaystyle{ \lim_{x \ \to \ a} (f + g)(x) = \lim_{x \ \to \ a} f(x) + \lim_{x \ \to \ a} g(x) }[/math] That's how some teachers explain at class. It's not the proof though.
To prove that the limit of the sum is the sum of the limits we have to use the formal definition of a limit. The proof of the triangle inequality is a pre-requisite to do it. In here please notice that the limit of both functions is defined. Otherwise, if one or both limits don't exist, we can't do the sum!
[math]\displaystyle{ \lim_{x \ \to \ a} f(x) = L }[/math] is the same thing as [math]\displaystyle{ \lim_{x \ \to \ a} f(x) - L = 0 }[/math] (Think about it: if the limit is [math]\displaystyle{ f(a) }[/math], then the distance between the limit and [math]\displaystyle{ f(a) }[/math] should be zero because one is equal to the other)
[math]\displaystyle{ f(x) + g(x) - (L_1 + L_2) = [f(x) - L_1] + [g(x) - L_2] }[/math]
We are already assuming that the limit of both functions exists, then let's assume that [math]\displaystyle{ f(x) \to 0 }[/math] and [math]\displaystyle{ g(x) \to 0 }[/math] as [math]\displaystyle{ a \to 0 }[/math]. Some functions may not have a limit at [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math] but we already began by excluding them. If both limits are equal to zero, then we have to prove that the sum of limits is also equal to zero. For every [math]\displaystyle{ \epsilon \gt 0 }[/math] there is a [math]\displaystyle{ \delta \gt 0 }[/math] such that
[math]\displaystyle{ |f(x) + g(x)| \lt \epsilon| }[/math] whenever [math]\displaystyle{ 0 \lt |x - a| \lt \delta }[/math]
Let [math]\displaystyle{ \epsilon }[/math] be given. Since [math]\displaystyle{ f(x) \to a }[/math] as [math]\displaystyle{ x \to a }[/math], there is a [math]\displaystyle{ \delta_1 \gt 0 }[/math] such that
[math]\displaystyle{ |f(x)| \lt \frac{\epsilon}{2} }[/math] whenever [math]\displaystyle{ 0 \lt |x - a| \lt \delta_1 }[/math]
Repeat for [math]\displaystyle{ g(x) }[/math]:
[math]\displaystyle{ |g(x)| \lt \frac{\epsilon}{2} }[/math] whenever [math]\displaystyle{ 0 \lt |x - a| \lt \delta_2 }[/math]
(if you didn't grasp the division by 2. Remember that the formal definition of a limit has the limit bounded by +error and -error. We've just used the property of a modulus)
If we let [math]\displaystyle{ \delta }[/math] denote the smaller of the two numbers [math]\displaystyle{ \delta_1 }[/math] and [math]\displaystyle{ \delta_2 }[/math], then both the previous inequalities are valid if [math]\displaystyle{ 0 \lt |x - a| \lt \delta }[/math] and hence, by the triangle inequality, we can find that
[math]\displaystyle{ |f(x) + g(x)| \leq |f(x)| + |g(x)| \lt \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon }[/math].
The other properties follow a similar reasoning.
Note: I followed Tom Apostol in this proof.
Links for the proofs:
