Derivadas das funções inversas

Quando compomos uma função com a sua inversa o resultado é que realizamos uma operação, desfazemos a mesma com a operação inversa e o resultado é que a entrada e a saída são iguais. Numa notação matemática: [math]\displaystyle{ f(f^{-1}(x)) = x }[/math]. Por hora pularemos as condições para as quais uma função é invertível. Para tornar a demonstração mais fácil de ler vamos escrever [math]\displaystyle{ f^{-1}(x) = g(x) }[/math]:

A taxa de variação de [math]\displaystyle{ x }[/math] é trivial, é um. Se [math]\displaystyle{ \frac{d}{dx}x = 1 }[/math], então [math]\displaystyle{ \frac{d}{dx}f(g(x)) = g'(x)f'(g(x)) }[/math] pela regra da cadeia.

Agora temos isto (é o conceito da diferenciação implícita):

[math]\displaystyle{ g'(x)f'(g(x)) = 1 }[/math]

Que podemos reescrever assim

[math]\displaystyle{ g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))} }[/math]

Cuidado! [math]\displaystyle{ f'(g(x)) \neq [f(g(x))]' }[/math]. Caso contrário você aplicará a regra da cadeia duas vezes.

O que provamos é que se sabemos [math]\displaystyle{ f' }[/math], então podemos achar [math]\displaystyle{ g' }[/math] sem precisar calculá-la explicitamente. Esta propriedade pode ser usada para provar que a derivada da exponencial sem ter que recorrer à limites de somas. Também podemos fazer o mesmo com as funções trigonométricas inversas, porque pela definição será muito mais difícil de resolver os limites que vão aparecer.

Caso tenhamos que diferenciar uma função mas não conseguimos resolver o limite por culpa de uma propriedade desconhecida, podemos recorrer à sua inversa porque esta pode ser uma função para a qual sabemos a sua derivada. Estamos aplicando o conceito da diferenciação implícita porque estamos expressando uma derivada em termos de uma outra derivada já conhecida.