Encontrando valores extremos de uma função de uma variável
Se uma função for contínua, a sua taxa de variação não for constante e há intervalos nos quais ela é crescente e em outros decrescente, uma conclusão natural é esperar que a taxa de variação se anula em algum lugar. [math]\displaystyle{ f'(x) = 0 }[/math] é uma condição necessária mas insuficiente para um ponto ser classificado como máximo ou mínimo local. É insuficiente porque podem haver pontos onde [math]\displaystyle{ f'(x) = 0 }[/math] e mesmo assim aquele ponto não é de máximo nem de mínimo. O mesmo conceito se aplica à funções de várias variáveis. Um ponto pode aderir a uma propriedade para ser crítico e mesmo assim falhar em atender a outros critérios necessários para ser um máximo ou mínimo.
Pegue a função [math]\displaystyle{ f(x) = x^3 }[/math] por exemplo. Na origem a sua taxa de variação inverte de sinal, mas esta função é estritamente crescente e não tem um máximo ou mínimo local em lugar nenhum.
Pontos estacionários de Fermat
Se [math]\displaystyle{ f }[/math] é diferenciável em [math]\displaystyle{ c }[/math] e [math]\displaystyle{ c \in D_f }[/math] num intervalo aberto. Um requisito para aquele ponto ser um máximo ou mínimo local é [math]\displaystyle{ f'(c) = 0 }[/math].
Começamos com a hipótese de que [math]\displaystyle{ c }[/math] seja um máximo local. Agora vamos considerar um pequeno passo para a esquerda e outro para direita daquele ponto e chamar o passo de [math]\displaystyle{ s }[/math]:
[math]\displaystyle{ f(c) \geq f(x + s) }[/math] (com nosso pressuposto inicial de que cada passo dado para a esquerda ou para a direita, a partir do máximo local, resulta numa descida)
Portanto:
[math]\displaystyle{ f(x + s) - f(c) \leq 0 }[/math] (somando [math]\displaystyle{ -f(c) }[/math] a ambos os lados. Perceba que a inequação não foi invertida.)
Podemos dividir ambos os lados por uma constante positiva sem afetar a inequação:
[math]\displaystyle{ \frac{f(x + s) - f(c)}{s} \leq \frac{0}{s} }[/math]
Estamos assumindo que [math]\displaystyle{ f }[/math] é diferenciável em [math]\displaystyle{ c }[/math], portanto os limites laterais existem e são iguais:
[math]\displaystyle{ f'(c) = \lim_{s \ \to \ 0^{+}} \frac{f(x + s) - f(c)}{s} \leq 0 }[/math]
Com isto mostramos que [math]\displaystyle{ f'(c) \leq 0 }[/math].
Se considerarmos [math]\displaystyle{ s \lt 0 }[/math] a inequação anterior inverte para ser maior ou igual à zero. Calculamos o mesmo limite, mas pela esquerda [math]\displaystyle{ h \to 0^{-} }[/math]. Com isto provamos que [math]\displaystyle{ f'(c) \geq 0 }[/math]. Com ambas as inequações sendo verdadeiras, concluímos que [math]\displaystyle{ f'(c) = 0 }[/math]. Graficamente faz todo sentido. À direita e à esquerda de [math]\displaystyle{ f'(c) }[/math] as derivadas tem sinais opostos. Quando você toma os limites laterais, ambos convergem para a mesma tangente horizontal.
O mesmo raciocínio se sucede para provar que o mínimo local também tem [math]\displaystyle{ f'(c) = 0 }[/math].
Observação: Eu tenho um livro que faz a demonstração aplicando o Teorema da Conservação de Sinal, o que condensa a demonstração ao não ter que trabalhar com incrementos positivos e negativos separadamente.
Cuidado! O teorema de Fermat dos pontos estacionários não é sobre máximos ou mínimos globais. Pegue a função [math]\displaystyle{ f(x) = |x| }[/math] por exemplo. Na origem existe um mínimo global, mas a função não é diferenciável ali.
Links para a demonstração:
O teste da segunda derivada
A ideia gráfica é a aplicação de [math]\displaystyle{ f'(c) = 0 }[/math] à derivada da derivada. Com a derivada sabemos, num certo intervalo, se a função é crescente ou decrescente. Com a derivada segunda fazemos o mesmo, mas para a própria derivada. A maneira mais fácil de explicar isto é recorrendo ao gráfico de uma cúbica e das suas derivadas primeira e segunda:
(gráfico sem escala)
[math]\displaystyle{ ]-\infty, \ a[ }[/math] temos que [math]\displaystyle{ f }[/math] é crescente, [math]\displaystyle{ f' }[/math] é decrescente e [math]\displaystyle{ f'' }[/math] é crescente e sempre negativa. [math]\displaystyle{ f'(a) = 0 }[/math] e [math]\displaystyle{ f''(a) \lt 0 }[/math]. [math]\displaystyle{ a }[/math] é um máximo local.
[math]\displaystyle{ ]b, \ +\infty[ }[/math] temos que [math]\displaystyle{ f }[/math] é crescente, [math]\displaystyle{ f' }[/math] é crescente e [math]\displaystyle{ f'' }[/math] é crescente e sempre positiva. [math]\displaystyle{ f'(b) = 0 }[/math] e [math]\displaystyle{ f''(b) \gt 0 }[/math]. [math]\displaystyle{ b }[/math] é um mínimo local.
Teoricamente podemos ter uma função que pode ser derivada até a enésima ordem, mas para a maioria dos casos perdemos uma interpretação relevante além da segunda e terceira ordens.
Cuidado! O sinal da função num ponto é uma coisa. A taxa de variação ser positiva ou negativa é outra coisa. Perceba que em [math]\displaystyle{ x = a }[/math] e [math]\displaystyle{ x = b }[/math], [math]\displaystyle{ f''(x) \neq 0 }[/math].
Se [math]\displaystyle{ f }[/math] admite uma derivada de segunda ordem e a derivada primeira é contínua numa intervalo aberto [math]\displaystyle{ I }[/math]. Então, com [math]\displaystyle{ c \in I }[/math] podemos afirmar que:
Se [math]\displaystyle{ f'(c) = 0 }[/math] e [math]\displaystyle{ f''(c) \gt 0 }[/math]. Então temos um mínimo local.
Se [math]\displaystyle{ f'(c) = 0 }[/math] e [math]\displaystyle{ f''(c) \lt 0 }[/math]. Então temos um máximo local.
A demonstração formal é frequentemente deixada para um curso de análise. Ainda assim um dos livros que sigo usa o Teorema da Conservação de Sinal para provar o teste da segunda derivada usando apenas cálculo. Olhando para trás, o teste da segunda derivada é sobre saber se [math]\displaystyle{ f'' }[/math] é positiva ou negativa ao redor do ponto onde [math]\displaystyle{ f'(x) = 0 }[/math]. O que o teorema da conservação de sinal afirma é que se considerarmos um intervalo aberto ao redor de um ponto da função, um passo dado para frente ou para trás deve manter o sinal da função naquele ponto. Considere o número 1. Se pegarmos um pequeno incremento para mais ou para menos, ainda estaremos do lado positivo da reta. Se considerarmos o número -1, um pequeno incremento para a esquerda ou para a direita e ainda estamos do lado negativo da reta. Considere agora o zero. Qualquer incremento para a direita e temos um número positivo. Qualquer incremento para a esquerda e temos um número negativo. Há ainda duas possibilidades, ambos os passos sobem ou ambos descem se a função é, respectivamente, decrescente ou crescente. É por isto que [math]\displaystyle{ f''(x) = 0 }[/math] não garante que temos um máximo ou mínimo local.
Caso a explicação acima tenha ficado nebulosa pense no seguinte: no gráfico acima temos uma função cúbica e o vértice da parábola esta abaixo do eixo [math]\displaystyle{ x }[/math]. Agora aquele ponto poderia estar acima ou sobre o eixo [math]\displaystyle{ x }[/math]. Daí que [math]\displaystyle{ f''(x) = 0 }[/math] não é uma condição suficiente para saber se aquele ponto é um máximo ou um mínimo.
Para funções de várias variáveis é mais complicado porque com duas ou mais coordenadas a considerar temos que recorrer aos vetores e à álgebra linear para estudar o comportamento de funções.
Links para a demonstração:
