Exercícios de posição relativa entre retas e planos
- Estude a posição relativa de r e [math]\displaystyle{ \pi }[/math] e, quando forem transversais, obtenha o ponto de interseção P.
- [math]\displaystyle{ r: \text{X} = (1,1,0) + \lambda (0,1,1) }[/math] e [math]\displaystyle{ \pi: x - y - z = 2 }[/math]
É imediato ver que o ponto origem da reta não pertence ao plano, então a reta ou é paralela ou transversal ao plano. Para saber se existe intersecção precisamos da equação do plano na forma paramétrica. Um modo de encontrar dois vetores diretores do plano é aleatoriamente escolher dois pontos pertencentes ao plano, a partir deles formar um vetor e calcular o produto vetorial com o vetor normal ao plano para encontrar um segundo vetor diretor. Ou, um modo mais simples, escolher três pontos não colineares para formar dois vetores diretores (existem infinitas triplas x, y e z que satisfazem a equação do plano). Assim:
[math]\displaystyle{ \begin{align*} A & = (2,0,0) \\ B & = (0,-2,0) \\ C & = (0,0,-2) \\ \\ \overrightarrow{v} & = (-2,-2,0) \\ \overrightarrow{u} & = (-2,0,-2) \end{align*} }[/math]
Agora temos a equação vetorial do plano:
[math]\displaystyle{ \pi: \text{X} = (2,0,0) + t(-2,-2,0) + p(-2,0,-2) }[/math]
Passando para a forma paramétrica:
[math]\displaystyle{ \begin{align*} x & = 2 - 2t - 2p \\ y & = -2t \\ z & = -2p \end{align*} }[/math]
Calculando a intersecção com a reta r encontramos [math]\displaystyle{ \lambda = -1 }[/math], [math]\displaystyle{ p = \frac{1}{2} }[/math] e [math]\displaystyle{ t = 0 }[/math]. Aplicando os parâmetros na equação vetorial da reta ou do plano encontramos a intersecção em [math]\displaystyle{ P = (1,0,-1) }[/math] e, portanto, a reta é transversal ao plano.
- [math]\displaystyle{ r: \frac{x - 1}{2} = y = z }[/math] e [math]\displaystyle{ \pi: X = (3,0,1) + \lambda (1,0,1) + \mu (2,2,0) }[/math]
Transformando r na forma vetorial:
[math]\displaystyle{ r: \text{X} = (1,0,0) + \lambda (2,1,1) }[/math]
Calculando o determinante da matriz formada pelos vetores diretores de r e de [math]\displaystyle{ \pi }[/math] o resultado é que os vetores são LD, portanto, ou a reta é paralela ao plano ou contida no plano. Para saber se a reta pertence ao plano ou não precisamos verificar se o ponto origem da reta pertence ao plano.
Aplicando o ponto origem de r em [math]\displaystyle{ \pi }[/math] obtemos o sistema linear:
[math]\displaystyle{ \begin{cases} 1 = 3 + \lambda + 2\mu \\ 0 = 2 \mu \\ 0 = 1 + \lambda \end{cases} }[/math]
O sistema não tem solução, portanto, o ponto não pertence ao plano e a reta é paralela ao plano.
- [math]\displaystyle{ r: \begin{cases} x & - & y & + & z & & & = & 0 \\ 2x & + & y & - & z & - & 1 & = & 0 \end{cases} }[/math] e [math]\displaystyle{ \pi: X = \left(0,\frac{1}{2},0\right) + \lambda \left(1,-\frac{1}{2},0\right) + \mu (0,1,1) }[/math]
Transformando r na forma vetorial (z é variável livre):
[math]\displaystyle{ r: \text{X} = \left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3},0 \right) + z(0,1,1) }[/math]
É imediato ver que os vetores diretores do plano e da reta são LD. Aplicando o ponto origem da reta na equação do plano calculamos que o ponto pertence ao plano, portanto, a reta esta contida no plano.
- [math]\displaystyle{ r: \begin{cases} x & - & y & = & 1 \\ x & - & 2y & = & 0 \end{cases} }[/math] e [math]\displaystyle{ \pi: x + y = 2 }[/math]
Em todas as equações falta a coordenada z. Ela deve ser lida como "0z", o que significa que todos os pontos pertencentes ao planos dados tem a coordenada z livre e podemos atribuir a ela qualquer valor. Uma maneira geométrica de visualizar a falta da coordenada z imaginar os planos como folhas de papel, numa visão lateral os planos se reduzem a retas.
Resolvendo o sistema de equações da reta r chegamos a [math]\displaystyle{ (2,1) }[/math]. O que significa que todos os pontos da reta r tem a forma [math]\displaystyle{ (2,1,z) }[/math] e qualquer vetor [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} = (0,0,z) }[/math] serve como vetor diretor.
Para [math]\displaystyle{ \pi }[/math] escolhemos três pontos aleatoriamente, por exemplo [math]\displaystyle{ \text{A} = (2,0,0) }[/math], [math]\displaystyle{ \text{B} = (0,2,0) }[/math] e [math]\displaystyle{ \text{C} = (2,0,3) }[/math]. Formamos então os vetores [math]\displaystyle{ \overrightarrow{\text{AC}} = (0,0,3) }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{\text{BC}} = (2,-2,3) }[/math].
Como os vetores diretores da reta e do plano são LD e nenhum ponto do plano é da forma [math]\displaystyle{ (2,1,z) }[/math] não há intersecção e o plano e a reta são paralelos.
